7. Граф в виде петли
Функция передачи петли находится по формуле:
Фр(s)= 1/(1-Ф1,1(s)
Попав в состояние 1, система до перехода в другое состояние, напри- мер 2, может несколько раз проходить по дуге, образующей петлю, и вновь возвращаться в это же состояние. Среднее время нахождения системы в со- стояние 1 вычисляется в соответствии с формулами:
р= -Ф'р(0)/ Фр(0) = 1,1Ф1,1(0)/ (1- Ф1,1(0))
Дисперсия времени:
σ2р=( σ21,1+ 21.1) 1Ф1,1(0)/ (1- Ф1,1(0)) + р2
Таким образом, получены формулы позволяют более просто найти статистические характеристики времени перехода системы обслуживания со случайной сменой состояний, алгоритм функционирования которой описан сигнальным графом. При этом не надо находить ФП всего графа и затем ее первую и вторую производные. Постепенно упрощая граф функционирования системы, так же как это делается при нахождении ФП, путем преобразования графа из нескольких дуг к одной эквивалентной дуге, вместо ФП эквивалентной дуги, можно сразу по полученным выражениям находить среднее время и дисперсию времени перехода по эквивалентной дуге.
8. Сложные графы
Рассмотрим граф, изображенный на рис. Этот граф показывает, что система из начального состояния, обозначенного цифрой 0, может за среднее время 1 и с равной вероятностью 1/N перейти в любое из N возможных состояний. Предположим, что переход из одного состояния в другое осуществляется за одинаковое среднее время 2 , с одной и той же вероятностью Ф2(0)=1 и дисперсией времени σ22. Данный случай соот- ветствуют случайной сумме, имеющей равномерное распределение, случай- ных величин.
23
Воспользовавшись выше изложенной методикой среднее время перехода из начального состояния 0 в конечное состояние N будет вычисляться по формуле:
c,N= 1+ 2 (N-1)/2,
а соответствующая дисперсия времени - по формуле:
σ2c,N= σ22(N-1)/2 + 22(N-1)/12
Выводы
Таким образом, описанная методика и полученные формулы позволяют более просто найти выражения для вычисления среднего времени и диспер- сии времени перехода системы со случайной сменой состояния из одного со- стояния в другое.
Передаточную функцию от вершины i до вершины k можно вычислить по формуле Мэзона:
Фi,k(s)=хк/хj={∑j Lji,k(s)∆j(s)}/ ∆ (s) , где
∆j(s) - определитель j -го пути от вершины i до вершины k.
Выражение для вычисления среднего времени можно представить как
i,k = {∑j ji,k Lji,k(0)∆j(0) - ∑j Lji,k(0)∆'j(0)} / ∑j Lji,k(0)∆j(0) +
{∑m m1Qm1(0) - ∑k k2Qk2(0)+ ∑n n3Qn3(0) + …} / {1-∑m Qm1(0)+ ∑k Qk2(0)-…}
(Q – вероятности перехода по дугам контура,
L – вероятности прохождения пути.)
Полученное выражение позволяет более легко вычислить среднее время перехода системы обслуживания из одного состояния в другое при сложном графе, по сравнению с методом постепенного преобразования графа.
Используемые источники:
1.Лекции по СМО по дисциплине «Системы массового обслуживания» 2. Википедия
3.http://Элементы теории графов и их приложения.