2.Анализ случайных состояний с помощью графов состояний.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состоянии. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние — стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

При анализе функционирования систем обслуживания, меняющих случайным образом свое состояние, желательно знать плотность распределения вероятности времени достижения того или иного состояния, которая является наиболее полной характеристикой работы такой системы. Однако ввиду сложности и большой трудоемкости нахождения плотности вероятности времени, можно ограничиться вычислением только среднего времени перехода системы из одного заданного состояния в другое требуемое состояние (Т), а иногда дополнительно и дисперсией времени перехода (σ²). Считается, что этих характеристик достаточно для анализа работы большинства систем обслуживания со случайной сменой состояния. Для вычисления этих характеристик удобно использовать теорию сигнальных графов, так как граф дает наглядное представление о поведении системы обслуживания.

Сигнальный граф – это ориентированный граф, соответствующий линейным или линеаризированным системам уравнений математической модели технической системы и отражающий причинно-следственные связи между переменными (сигналами) системы.

Вершины сигнального графа соответствуют сигналам, а ветви – коэффициентам или передаточным функциям, характеризующим связь между этими сигналами.

Таким образом, каждая ветвь сигнального графа отображает причинно-следственную связь между сигналами (переменными), образующими начало и конец ветви, причём начало ветви истолковывается как причина, а её конец как следствие. Направление ветви указывает от причины к следствию.

Вершины-источники сигнального графа отображают независимые (свободные) переменные, вершины-стоки – зависимые переменные технических систем. Вершины, соответствующие входящим и исходящим ветвям, называют смешанными. Их относят к зависимым переменным и называют зависимыми вершинами.

3. Построение сигнальных графов

Построение сигнальных графов выполняют на основании следующих правил: 1. Сигналы передаются вдоль ветвей только в направлении их ориентации.

2. Сигнал, проходящий вдоль какой-либо ветви, умножается на передачу этой

ветви.

3. Сигнал, изображаемый какой – либо вершиной, является суммой всех сигналов, только приходящих в эту вершину (узел).

4. Значение сигнала, изображаемого какой-либо вершиной, передаётся по всем ветвям, выходящим из неё.

Согласно этих правил значение сигнала в любой зависимой вершине сигнального графа определяется формулой.

X_к = _kjx_j,

где Xk – значение сигнала в k - ой вершине сигнального графа;

j=1,... N –число вершин графа, связанных выходящими ветвями с k -м узлoм; akj- коэффициент , характеризующий вершину передачи ветви, входящих в k – ю вершину.

Сигнальный граф (а) и разделение его смешанной вершины (б)

Значение сигнала Xk не зависит от выходящих из k – ой вершины ветвей графа. Смешанная вершина, выполняющая функции источника и стока, может быть разделена на две части (рис б); вершину-сток (X^sk) , объединяющую все входящие в данную вершину Xk ветви, и вершину-источник (X^Jk ), инцидентную всем выходящим из данной - вершины Xk ветвям. Эти две вершины соединяются ветвью, с коэффициентом передачи равным единице.

Ветви сигнального графа выполняют функции операторов и в этом смысле могут быть линейными и нелинейными. В общем случае ветвь может выполнять сложные линейные операции, описываемые рациональными функциями комплексной переменной. Сигнальный граф изображает системы уравнений технической системы в графической форме, однако между сигнальным графом и системой уравнений не существует взаимно однозначного соответствия.

Целью исследования стало создание системы распределения инфор мационного потока данных, нагрузки, между серверами информационной сети. При этом сервера территориально распределены, данное условие вводится для приближения объекта исследования к реальным условиям. Фактически серверная система или сеть, представляет собой систему массового обслуживания, и решая проблему распределения нагрузки, мы воспользовались основами ТМО (теория массового обслуживания). В результате нами получена схема работы системы на рисунке. Особенность работы системы заключается в том, что все сервера сети работают параллельно, и каждый из них имеет собственную производительность (μ0n). λ – есть ничто иное как ходящий поток заявок, или нагрузки которую требуется распределить, для этого нами введена функция распределения потока заявок - f(φ). Математически функция выглядит следующим образом:

Здесь n – номер канала обслуживания системы (сервера) в последовательности {1..n}, m – номер канала обслуживания системы (сервера) в последовательности {n..1}, λ –плотность потока входящих заявок, а φ – величина, определяющая направление распределения потока заявок.

Разработанная функция является математическим обоснованием ра-

боты системы распределения нагрузки.

Используя возможности системы распределения нагрузки, можно повысить общую отказоустойчивость системы.

В процессе функционирования система обслуживания переходит из одного состояния в другое , в соответствии с заданным алгоритмом работы. Согласно геометрическому представлению графа, каждая конкретная пара связанных состояний(ν_ϳ, ν_k)€VxV, соответствующая двум точкам на плоскости, соединяется дугой. Пусть система обслуживания в процессе работы находится в каком-либо ϳ-м состоянии время Т_ϳ, а после этого мгновенно переходит с вероятностью , в следующее (ϳ+1)-е состояние. Врeмя, в общем случае, может принимать любые значения, т.е. изменяется непрерывно. Вероятность перехода в зависимости от времени можно записать в виде

p _{ϳ, ϳ+1}(t)= p _{ϳ, ϳ+1}δ(t-T _ϳ),

где δ(t-t₀)=1 при t=t₀,

δ(t-t₀)=0 при t≠t₀.

Функция передачи (ФП) дуги такого графа выражается через преобразование Лапласа функции:

Ф _{ϳ, ϳ+1}(s)= p _{ϳ, ϳ+1}δ(t-T _ϳ)dt= p _{ϳ, ϳ+1} .

Зная ФП каждой дуги графа, можно, с помощью описанных ранее пра- вил преобразования графа, найти ФП графа от какого-либо i-го состояния до какого-либо k-го состояния Ф _{i, k}(s).

После чего определить среднее время перехода Ti,k из i - го

состояния в k -е по формуле [

Ti,k=Ф'i,k (0)/ Фi,k (0)

и дисперсию времени перехода из i -го состояния в k -е

σ²_ik= Ф''i,k (0)/ Фi,k (0)- Ti,k.

В формулах Фi,k 0соответствует вероятности перехода из i -го со-

стояния в k -е. Производные сначала берутся по s, затем значения s прирав-

ниваются к нулю.