Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

График функции y=f(x) называется ВЫПУКЛЫМ НА ИНТЕРВАЛЕ (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется ВОГНУТЫМ НА ИНТЕРВАЛЕ (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой. Для определения точек перегиба находят вторую производную.

В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует.

- если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз.

- если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх.

.

Монотонность функций

Точки, в которых достигается максимум или минимум и точки разрыва функции, называются точками экстремума.

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ:

1. Находим производную функции

2. Приравниваем эту производную к нулю

3. Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)

4. Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум

5. Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

6. Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом.

7. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Если для любого (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D:

Если для любого (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b) то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D.

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Исследование графика функции:

1. Область определения D(f)

2. т. Чётные или нечетные

3. Lim f(x) при х-> +(-) &

4. Асимптоты

5. f '

6. f ’’

7. График

Раскрытие неопределенностей:

Раскрытие неопределенностей вида 0⋅ ∞ . Неопределенности вида 0⋅ ∞ сводятся к неопределенностям вида ∞*∞ .

Раскрытие неопределенностей вида1^∞ . Применяется второй замечательный предел.

1. 

2. =

Число e, второй замечательный предел. Числом e называется предел

Раскрытие неопределенностей вида 0⁰

Логарифмируем выражение и используем равенство:

ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ