Свойства собственных значений матрицы

линейного оператора .

1. Произведение собственных значений матрицы равно ее определителю

.

2. Число отличных от нуля собственных значений матрицы равно ее рангу.

3. Все собственные значения матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

4. Если - собственное значение невырожденной матрицы , то - собственное значение обратной матрицы .

5. Если  - собственное значение матрицы , - собственное значение матрицы , где - натуральное число.

4.5.5. Диагональная форма матрицы оператора

Наиболее простой вид матрица линейного оператора имеет, когда базисом является система ее собственных векторов, т.е. все ее собственных значений различны. В этом случае , при и , т.е. матрица является диагональной:

.

Следовательно, для того чтобы привести матрицу оператора к диагональному виду согласно формуле , в качестве матрицы нужно взять матрицу, столбцами которой должны быть собственные векторы оператора .

Пример. Привести к диагональному виду матрицу .

Решение. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид:

, откуда , , .

Найдем собственные векторы, подставляя найденные собственные значения в матричное уравнение . Для получаем

,

отсюда . Полагая произвольной константой, получаем собственный вектор . Подстановка второго собственного значения приводит к уравнению

,

Откуда , полагая получаем второй собственный вектор матрицы : . Поскольку и - произвольные числа, одному собственному значению может соответствовать несколько собственных векторов разной длины.

Поскольку собственные значения этой матрицы , подобная ей диагональная матрица имеет вид:

Проверим это по формуле . Составим матрицу , столбцами которой являются собственные векторы:

.

Найдем определитель матрицы , а обратная матрица имеет вид:

По формуле получаем:

.

4.6. Квадратичные формы.

1. Основные сведения о квадратичных формах.

Определение. Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

(50)

Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы - действительные числа, причем .

Будем называть симметрическую матрицу

(51)

матрицей квадратичной формы (50). Квадратичная форма (50) может быть представлена в матричной форме:

(52)

где и - вектор-строка и вектор-столбец переменных.

В самом деле

.

Пример. Дана квадратичная форма . Записать ее в матричном виде.

Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет следующий вид: на главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, а симметричные относительно нее недиагональные элементы равны половинам соответствующих коэффициентов перекрестных произведений переменных данной квадратичной формы. Следовательно:

2. Преобразование квадратичных форм.

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Пусть векторы-столбцы переменных и связаны линейным соотношением

где , есть некоторая невырожденная матрица -го порядка. Тогда квадратичная форма

.

Итак, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы принимает вид

(53)

Пример. Для квадратичной формы предыдущего примера найти квадратичную форму, полученную из данной линейным преобразованием , , .

Решение. Матрица данного линейного преобразования имеет вид:

.

Применяя формулу (53) к матрице из предыдущего примера получаем:

,

т.е. квадратичная форма принимает вид:

.

3. Канонический и нормальный виды квадратичной формы.

Определение. Квадратичная форма называется канонической или имеет канонический вид, если все ее коэффициенты при :

(54)

т.е. матрица является диагональной.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Определение. Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее каноническом виде все коэффициенты равны 1 или -1.

Существуют различные методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим один из них

Метод Лагранжа. Заключается в выделении полных квадратов: сначала формируется полный квадрат из слагаемых, содержащих , затем из слагаемых, содержащих и т.д. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пример. Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму

Решение. Применяя метод Лагранжа, получаем:

.

где , , . При приведении к нормальному виду в этой квадратичной форме нужно использовать замену переменных , , . Тогда получаем:

Теорема. (Закон инерции квадратичных форм). При любом способе приведения квадратичной формы (50) с действительными коэффициентами к нормальному виду число квадратов с коэффициентами 1 получается одно и то же, как и число квадратов с коэффициентами -1.

4. Критерий знакоопределенности квадратичной формы.

Определение. Квадратичная форма (50) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных , не равных одновременно нулю, указанная форма имеет положительные (отрицательные) значения.

Оба этих случая объединены под названием знакоопределенных форм. Если квадратичная форма (50) как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной.

Квадратичная форма от переменных является положительно определенной, тогда и только тогда, если ее нормальный вид содержит ровно квадратов, т.е. имеет вид . Понятно, что все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть положительными.

Аналогично в нормальный вид отрицательно определенной все квадратов должны входить со знаком минус, т.е. все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть отрицательными.

Миноры

, , ,…, (55)

называются главными минорами матрицы квадратичной формы (50).

Теорема. (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма (50) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия

(56)

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем .

Пример. Найти по критерию Сильвестра знакоопределенность квадратичной формы .

Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет вид:

.

Последовательно вычисляем ее миноры

, , .

Поскольку критерий Сильвестра не соблюден, то данная квадратичная форма является знакопеременной.