3. Основные характеристики нечётких множеств

Основные недостатки точных методов:

1. Ввиду сложности функционирования системы нельзя получить аналитического выражения для параметров системы.

2. Понятия, существенные для системы, вследствие ограниченности человеческого мышления, приближённого характера суждений, неточного и нечёткого их описания, не могут быть описаны аналитически.

3. Внешние факторы, влияющие на состояние системы, носят вероятностный характер с неясным законом распределения и их воздействие на систему можно описать только лингвистически.

4. Параметры системы находятся в сложной, не до конца ясной зависимости.

Ограничений сложности, неточности и неполноты описания системы позволяет преодолеть теория нечётких множеств.

Нечеткое множество А характеризуется функцией принадлежности , которая ставит в соответствие каждому элементу число из интервала [0,1], характеризующее степень принадлежности элемента множеству А. Причем 0 и 1 представляет соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к подмножеству А.

G – глобальное множество

– степень принадлежности

Точкой перехода нечеткого множества А называется элемент множества X, для которого .

Носителем нечеткого множества А называется четкое подмножество из X, на котором . В практических приложениях носитель – это чаще всего ограниченное множество.

В ысотой нечеткого множества А называется максимальное значение функции принадлежности этого множества, то есть

Функция принадлежности может задаваться таблично или графически.

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой (α, X, A), где

α - наименование переменной;

X - универсальное множество (область определения α) ;

A - нечеткое мн-во на X, описывающее ограничения (т.е. μА(x)) на зн-я нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной называется набор (β, T, X, G, M), где

β - наименование лингвистической переменной;

T - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество T G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Чтобы охарактеризовать поведение системы и реализовать стратегию управления, нужно помимо описания с помощью лингвистических переменных всех важных параметров системы и внешних факторов также описать правила, по которым осуществляется связь между параметрами системы, внешними факторами и между параметрами и факторами.

Для представления правил используются продукционные правила (несколько посылок, одно заключение).

На нечётких множествах определены следующие операции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Примеры

Очень A =

Очень неточно != Не очень точно – т.е. важен порядок следования