14 Определение полугрупп, групп и их примеры.

Полугруппа – множество, на котором задана бинарная алгебраическая операция, для которой справедлив ассоциативный закон (сочетательный). Примеры: <N,+><Z,*>

Любой моноид (в частности, любая группа) является также и полугруппой(Моноид — полугруппа с нейтральным элементом. Нейтральный элемент бинарной операции — это элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении к ним этой бинарной операции.)

Непустое множество G называется группой, если в нем определена алгебраическая операция, называемая умножением, которая каждым двум элементам a, b из G ставит в соответствие элемент ab также из G, называемый их произведением, и обладает:

     I. (Закон ассоциативности) a(bc) = (ab)c;

     II. (Закон обратимости) Для любых a и b из G уравнения ax = b и ya = b разрешимы в G, т. е. в G существуют элементы c и d такие, что ac = b, da = b. Если групповая операция коммутативна, т. е. ab = ba для любых a, b из G, то группа G называется коммутативной. (коммутативные группы называются также абелевыми)

Примеры: Все целые, все рациональные и действительные числа являются группами относительно операции сложения чисел, играющего роль групповой операции умножения, но ни одно из этих множеств не является группой относительно операции умножения чисел, т. к. уравнения 0*x = 1 не имеют решения. Все рациональные, все действительные и все комплексные числа, исключая число 0, являются группами относительно операции умножения чисел.

15 Понятие формального языка

Формальный язык - язык, характеризующийся точными правилами построения выражений и их понимания. Он строится в соответствии с четкими правилами, обеспечивая непротиворечивое, точное и компактное отображение свойств и отношений изучаемой предметной области (моделируемых объектов).

Формальный язык – основа создания программного обеспечения.

ФЯ образуется с помощью исходного набора букв а1, а2, …., а100, с помощью букв образуются слава. Слово в формальном языке – упорядоченный набор букв (Ящерица – 30 букв)

Для операции * слов справедлив ассоциативный закон.

Теория полугрупп и полуколец – основа теории ФЯ

16 Понятие высказывания. Операции над высказываниями и их применение в анализе текстов.

Высказывание – повествовательное предложение о котором можно сказать истинно оно или ложно («Луна-спутник Земли» = И=1, «5:7»=Л=0)

Высказывание в котором используются грамматические связки называется сложным, в противном случае – простым.

С помощью пяти логических связок можно образовать следующие сложные высказывания:

1) отрицание: А = «На улице не идет дождь»;

2) дизъюнкция: А ∨ В = «На улице не идет дождь или над моей головой раскрыт зонтик»;

3) конъюнкция: А ∧ В = «На улице идет дождь и над моей головой не раскрыт зонтик»;

4) импликация: А → В = «Если на улице идет дождь, то над моей головой раскрыт зонтик»

5) эквивалентность: В ~ А = «Над моей головой раскрыт зонтик тогда и только тогда, когда на улице идет дождь».

Операции над высказ-ми:

1. Объединение двух высказываний в одно при помощи союза «И» называется операцией логического умножения. Полученное таким образом высказывание называется логическим произведением.

2. Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ», употребляемого в неисключающем смысле, называется операцией логического сложения.

3. Операция логического отрицания осуществляется над одним высказыванием. Выполнить операцию логического отрицания (обозначается ) – значит получить из данного высказывания новое, присоединяя слова «неверно, что …» ко всему высказыванию. А=Ă, 1=0, 0=1

4. Операция логического следствия (импликация) и равносилия (эквивалентности)

А	В	А*В(и)	А+В(или)	А→В	А↔В
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

17 таблицы истинности основных операций с высказываниями

А	В	А*В(и)	А+В(или)	А→В	А↔В
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

А	-А
1	0
0	1

18. Законы алгебры высказываний и их доказательство.

Закон	Для   ИЛИ +	Для   И *
Переместительный	А+В=В+А	А*В=В*А
Сочетательный	(А+В)+С=А+(В+С)	(А*В)*С=А*(В*С)
Распределительный	(А+В)*С=АС+ВС	А+(В*С)=(А+В)*(А+С)
Правила де Моргана
Идемпотенции
Поглощения
Склеивания
Операция переменной с ее инверсией
Операция с константами
Двойного отрицания