7 Бинарное отношение частичного порядка.

Бинарное отношение называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Примеры.

На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.

Отношение делимости на множестве целых чисел являются отношением нестрогого порядка.

Множество , на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

8 Операции с бинарными отношениями

Пересечением отношений a и b, заданных на множестве X, называется отношение такое, что:

Объединением отношений  и , заданных на множестве X, называется отношение , такое, что:

Разностью отношений  и , заданных на множестве X, называется отношение  \, такое, что:

Дополнением отношения  , определенного на множестве X, называется отношение, определяемое подмножеством пар из XxX, не входящих в :

x y

Если в каждой упорядоченной паре, принадлежащей отношению , поменять местами первую и вторую компоненты, то получим новое отношение, которое называется обратным для отношения  и обозначается через ^-1:

.

Произведением или композицией отношений  и , заданных на множестве X, называется отношение °, состоящее из таких кортежей (x, z), для которых существует элемент , удовлетворяющий условию и  :

.

9 Изоморфизм бинарных отношений.

пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция (это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством.) между ними называется изоморфизмом, если она сохраняет эту структуру. Если между такими множествами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких множеств со структурой.

10 Определение отображения множеств и их основные виды : инъекция, сюръекция, биекция

Отображением множества Х во множество У называется правило, по которому каждому элементу множества Х находится единственный соответствующий ему элемент множества У

Для всех х ε Х существует такой у ε У↔ х → у (х отображается на у)

X - называется областью определения отображения f; Y - называется областью значений отображения f; Образом элемента x из X называется элемент y из Y, который сопоставлен ему в соответствие отображением

Способы задания отображений:

- формулой

- графиком

- таблицей

- описанием и т.д

у=f(x) / X→Y (над стрелочкой f) / → f

Преобразованием множества X называют отображение f, если облать определения и область значений данного отображения совпадают; Образом множества A при отображении f называется множество f(A)={y l y=f(x), где x принадлежит A}, а A - произвольное подмноджество из X;

Инъекция:

Отображение f называется инъективным если

1. различные элементы (х) отображаются в различных образах (у)

2. у каждого образа (у) имеется единственный прообраз (х) Сюръекция:

отображение называется сюръективным, если у каждого элемента множества У имеется прообраз во множестве Х

Биекция – одновременное выполнение инъекции и сюрьекции.