6 Бинарное отношение эквивалентности
Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Примеры отношений эквивалентности
отношение параллельности на множестве прямых плоскости;
отношение подобия на множестве фигур плоскости;
отношение равносильности на множестве уравнений;
отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных;
отношение "быть родственниками" на множестве людей;
Связи между отношениями эквивалентности, определенными на множестве M, и разбиениями множества M на классы описываются в следующих двух теоремах.
Теорема1.
Всякое разбиение
непустого
множества M
на классы определяет (индуцирует) на
этом множестве отношение эквивалентности
такое, что:
всякие два элемента одного класса находятся в отношении ;
всякие два элемента различных классов не находятся в отношении .
Доказательство. Пусть имеется некоторое разбиение непустого множества M. Определим бинарное отношение следующим образом:
xay
(
K
)(
x
K&y
K).
То есть два элемента x и y aиз множества M связаны отношением а в том и только в том случае, если в разбиении найдется такой класс K, которому одновременно принадлежат элементы x и y.
Так определенное отношение а, очевидно, рефлексивно и симметрично. Докажем транзитивность отношения а. Пусть xy и xz. Тогда по определению в существуют классы K1 и K2 такие, что x, y K1 и y, z K2. Так как различные классы в разбиении не имеют общих элементов, то K1 = K2, то есть x, z K1. Поэтому xz, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Всякое отношение эквивалентности в непустом множестве M порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что
всякие два элемента одного класса находятся в отношении a (ро);
всякие два элемента различных классов не находятся в отношении a.
Доказательство. Пусть а - некоторое отношение эквивалентности на множестве M. Каждому элементу x из поставим в соответствие подмножество [x] множества M, состоящее из всех элементов y, находящихся в отношении а с элементом x:
[x] = {y|yx}.
Система подмножеств
[x],
образует разбиение множества M.
Действительно, во-первых, каждое
подмножество [x]
O ,
так как в силу рефлексивности отношения
x
[x].
Во-вторых, два
различных подмножества [x]
и [y]
не имеют общих элементов. Рассуждая от
противного, допустим существование
элемента z
такого, что z
[x]
и z
[y].
Тогда zax
и
zay.
Поэтому для любого элемента a
[x]
из a x,
zx
и
zy
в силу
симметричности и транзитивности
отношения вытекает ay,
то есть a
[y].
Следовательно, [x] 
[y].
Аналогично получаем, что [y]
[x].
Полученные два включения влекут равенство
[x] = [y],
противоречащее предположению о
несовпадении подмножеств [x]
и [y].
Таким образом,
[x]
y] = O.
В-третьих, объединение всех подмножеств [x] совпадает со множеством M, ибо для любого элемента x M выполняется условие x [x].
Итак, система подмножеств [x], образует разбиение множества M. Несложно показать, что построенное разбиение удовлетворяет условиям теоремы.
Разбиение множества M, обладающее свойствами, указанными в теореме, называется фактор-множеством множества M по отношению и обозначается M/.
Подведем некоторые итоги. Мы убедились, что задание эквивалентности на множестве M равносильно заданию некоторого разбиения этого множества. Иными словами, определить некоторое отношение эквивалентности между элементами множества M - это означает разбить множество M на непересекающиеся классы и считать эквивалентными те и только те элементы, которые попали в один и тот же класс. На фактор-множество M/ можно смотреть как на совокупность классов элементов из M, неразличимых "с точностью до эквивалентности ". Построение фактор-множества M/a называют иногда факторизацией множества по отношению .