3 Определение прямого произведения множеств.

Множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств.

Прямым произведением множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар (x,y) таких, что x є X и y є Y. Обозначение: X *Y = {(х,у)| x є X, y є Y }.

Пример: А=(а1,а2,а3) 1≤i≤3

В=(в1,в2) 1≤j≤ 2

а1в1 а2в1 а3в1

а1в2 а2в2 а3в2

Р=3*3=6

Произведение 3 множеств – множество всех троек элементов в котором 1элемент из 1 множества, 2-из 2, 3 – из 3.

4 Определение бинарного отношения.

Декартовый квадрат множества – множество всевозможных пар, кот можно из элементов множества.

Бинарное отношение - подмножество декартова произведения двух множеств

- какая-то часть множества пар, составленных из 2 элементов мн-ва.

Примеры бинарных отношений: перпендикулярность, параллельность, ро или др. буквы греч алфавита.

Декартовым произведением множеств X и Y называется множество XxY всех упорядоченных пар (x, y) таких, что x  X, y Y.

Соответствием между множествами X и Y (или соответствием из X в Y) называется любое подмножество декартова произведения XxY. Если множества X и Y совпадают, то соответствие между множествами X и Y называют также бинарным отношением на множестве X.

Метода задания бинарных отношений:

-Формула

-таблица

-граф

Часто матрицу отношения называют булевой, чтобы подчеркнуть, что ее элементами являются только нули и единицы.

5 Основные свойства бинарных отношений

Рефлексивность

бинарное отношение на множестве называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Формально, отношение рефлексивно, если .

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю — дугу (х, х).

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества , то отношение называется антирефлексивным.

Симметричность

бинарное отношение на множестве X называется симметричным, если для каждой пары элементов множества выполнение отношения влечёт выполнение отношения .

Формально, отношение симметрично, если .

Транзитивность

бинарное отношение на множестве называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества выполнение отношений и влечёт выполнение отношения .

Формально, отношение транзитивно, если .

Антисимметричность.

бинарное отношение на множестве называется антисимметричным, если для каждой пары элементов множества выполнение отношений и влечёт , или, что то же самое, выполнение отношений и возможно только для равных и . Формально, отношение антисимметрично, если

Бинарное отношение на множестве называется асимметричным, если для каждой пары элементов множества одновременное выполнение отношений и невозможно.

Для отношения а делится на цело на в справедливы рефлексивность, антисимметричность и транзитивность.

Бинарное отношение называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.