32. Определение маршрута, цепи, цикла.

Введем понятие маршрута для графа G = (V, E) (и соответственно понятие пути для орграфа D = (V, E)). Маршрутом в данном графе G называется конечная последовательность ребер вида {v0, v1}, {v1, v2}, …, {vm-1, vm}, рабра встречаются только 1 раз.

Простой путь – маршрут в кот каждая вершина и каждое ребро встречается 1 раз.

Цепь — это маршрут без повторяющихся ребер.

Цепь называется простой, если в ней нет повторяющихся вершин за исключением, быть может, совпадающих концевых.

Замкнутая цепь называется циклом.

Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

33. Определение связного графа. Признаки связного графа.

Связный граф – граф, в котором для любых 2-х вершин существует маршрут. (гамильтоновы графы и деревья)

Ребро графа является мостом, если после его удаления граф разбивается на два не связанных между собой подграфа, то есть, на две отдельные связные компоненты.

Граф называется реберно связным, если в нем отсутствуют мосты. И, наоборот, граф называется реберно отделимым. если у него есть ребра - мосты. Ребра - мосты называются ребрами отделимости.

Если граф связный, у него обязательно есть вершины степени не менее 2, то есть вершины, каждая из которых имеет не менее двух смежных вершин. Если граф связный и без циклов (то есть это дерево), то удаление любого ребра приведёт к потере связности.

34. Разрезы графа. Компоненты связности графа. Признак связности графа.

Разрезом графа называется множество ребер графа, которые превращают граф в несвязанный граф. В дереве любое ребро является разрезом.

Компонента связности графа — некоторое множество вершин графа такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.

Связный граф – граф, в котором для любых 2-х вершин существует маршрут.

35. Определение матрицы смежности графа.

Матрица смежности графа - один из способов представления графа в виде матрицы.

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a_ij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину. Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

В матрице смежности столько же строчек и столбцов сколько вершин.

Обозначим ребро графа е . Матрицей смежности графа называется матрица, в которой еij = 1, если Vi и Vj связаны ребром, еij = 0, в обратном случае.

Матрица смежности и инцеденции позволяют занести описание графа в память компьютера и исследовать его необходимые свойства и характеристики с помощью пакета прикладных программ. Чтобы занести граф в память машины нужно не обращать внимание на расположение вершин и ребер, независимо от этого нужно занумеровать вершины и ребра.

36. Определение матрицы инцеденции графа

Матрица инциденций – это матрица размера n m, где n – число вершин, а m – число ребер графа, при этом ее элементы k_ij равны 1, если вершина с номером i является для ребра с номером j начальной или конечной.