30. Эйлеровы и гамильтоновы графы и их примеры в экономике.

Эйлеровым называется граф, в котором можно «обойти» все ребра, проходя по каждому только раз и вернуться в исходную вершину. (звезда в 5-угольнике)

Теорема. Если граф обладает эйлеровым циклом, то он является связным, а все его вершины — четными.

Доказательство Связность графа следует из определения эйлерова цикла. Эйлеров цикл содержит каждое ребро и притом только один раз, поэтому, сколько раз эйлеров путь приведет конец карандаша в вершину, столько и выведет, причем уже по другому ребру. Следовательно, степень каждой вершины графа должна состоять из двух одинаковых слагаемых: одно результат подсчета входов в вершину, другое — выходов.

Верно и обратное утверждение.

Гамильтоновым графом называется граф, в котором можно «обойти» все его вершины, проходя по каждой только 1 раз и вернуться в исходную вершину. (пятиугольник)

Транспортные» задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребрами – дороги (автомобильные, железные и др.) и / или другие транспортные (например, авиационные) маршруты. Другой пример – сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т.д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами – возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т.д.).Управление проектамиС точки зрения теории графов проект – совокупность операций и зависимостей между ними Модели коллективов и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т.д.) – в виде ребер или дуг.Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы, а ребрами или дугами – связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними

31 Определение изоморфных графов

Графы  и  изоморфны, если существует такое взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин  и , что вершины соединены ребрами в одном из графов в том и только том случае, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Если ребра ориентированы, то и их направления также должны соответствовать друг другу.

изоморфизмом графов и называется биекция между множествами вершин графов такая, что любые две вершины и графа смежны, тогда и только тогда, когда вершины и смежны в графе .

отношение изоморфизма графов рефлексивно, симметрично и транзитивно и является отношением эквивалентности. Следовательно, множество всех графов разбивается на классы эквивалентности так, что графы из одного класса попарно изоморфны, а графы из разных классов не изоморфны. Изоморфные графы, как правило, отождествляют, и их можно изображать одним рисунком.

Из определения следует, что изоморфные графы могут различаться лишь обозначениями вершин и ребер, так как у них должно быть равное число вершин и ребер, соответствующие друг другу вершины обязаны иметь одинаковые степени и полустепени, и, разумеется, совершенно все равно, какую геометрическую реализацию графа выбирать для его изображения.

Говорят, что граф  изоморфно вкладывается в граф , если  изоморфен некоторой части графа .