Понятие множества. Операции над множествами. Универсальное множество.
Множество
(N-
натуральные,Z-целые,Q-рационал,
R-действительные)
– неопределяемое понятие, это совокупность
объектов, рассматриваемая как одно
целое. Понятие множества принимается
за основное, т. е. не сводимое к другим
понятиям. Объекты, составляющие данное
множество, называются его элементами.
Простое множество не имеет ни одного
элемента. Основное отношение между
элементом a
и содержащим его множеством A
обозначается так
(a
есть элемент множества A;
или a
принадлежит A,
или A
содержит a).
Если a
не является элементом множества A,
то пишут
(a
не входит в A,
A
не содержит a).
Множество можно задать указанием всех
его элементов, причем в этом случае
употребляются фигурные скобки. Так {a,
b,
c}
обозначает множество трех элементов.
Аналогичная запись употребляется и в
случае бесконечных множеств, причем
невыписанные элементы заменяются
многоточием. Так, множество натуральных
чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество
четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под
многоточием в первом случае подразумеваются
все натуральные числа, а во втором -
только четные.
«пустое множество»
- множество, не содержащее ни одного
элемента, его обозначают
Способы задания: табличный, перечислением элементов, графический, рекуррентный, формулой.
Операции над множествами.
Пересечение множеств – множество, состоящее из элементов, которые принадлежат обоим множествам.
Для пересечения множеств справедливы:
X∩Y=Y∩X — коммутативный закон
(X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z — ассоциативный закон
X∩∅=∅
Объединение множеств – множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.
Для объединенных множеств справедливы:
XUY = YUX — коммутативный закон
(XUY) UZ = XU (YUZ) = XUYUZ — ассоциативный закон,
XU∅ = X
Универсальное множество
Универса́льное мно́жество — множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.
Универсальное множество – множество, которое содержит все элементы, из которых может состоять другое множество, т.е. полностью содержать все элементы универсального множества. .
Если при некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества, то это самое большое множество будем считать универсальным.
Универсальное множество обладает интересным свойством, которое не имеет аналогии в обычной алгебре, а именно, для любого множества X справедливо соотношение XU(объединение)I = I.
Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей внутри этого прямоугольника. Изображение множеств в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называется диаграммой Эйлера-Венна.
Диаграммы Венна. Тождества алгебры множеств и их доказательство.
Диаграмма Венна — схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств, показывают математические, теоретико-множественные или логические отношения между множествами.
Тождества и их доказательства.
Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения:
1. Коммутативность:
,
2. Ассоциативность
,
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения
3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами
,
,
,
5. Закон идемпотентности
,
6. Закон де Моргана
,
7. Закон поглощения
,
8. Закон склеивания
,
9. Закон Порецкого
,
10. Закон двойного дополнения
Доказать следующее тождество .
Решение.
Докажем это
тождество аналитическим способом
(используя равносильности алгебры
множеств)
