2.3.3. Свойства биномиальных коэффициентов
Биномиальные коэффициенты обладают целым рядом замечательных свойств:
1.
(1)
2.
- тождество Коши.
(2)
Доказательство (1):
1)
При n=1
левая часть равенства (1) равна
,
правая часть равна
.
Значит, формула (1) верна при n=1.
2)
Допустим, формула (1) верна при каком-то
произвольном натуральном n=m,
т.е. допустим, что справедливо равенство:
.
Докажем, что тогда оно верно и при
следующем n=m+1,
т.е. что
.
Доказательство:
[по
2-му элементарному тождеству для числа
сочетаний] =
[по
допущению]
=[по
допущению и по следствию 1 из бинома
Ньютона]=
.
Так как выполнены оба условия принципа математической индукции, то равенство (1) верно для всех натуральных n.
Доказательство (2):
-
это число способов выбрать k
предметов из n+m.
Предметы можно выбирать в 2 приема:
сначала выбрать i
предметов из m,
а затем взять недостающие
предметов из оставшихся n
предметов. Следовательно, по правилам
умножения и сложения общее число способов
выбрать k
предметов составляет
.
2.3.4. Треугольник Паскаля
Из второго элементарного тожества (см. п.2.3.1) вытекает эффективный способ рекуррентного вычисления значений биномиальных коэффициентов, который можно представить в графической форме, известной как треугольник Паскаля1.
-
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
В этом равнобедренном треугольнике каждое число (кроме единиц на боковых сторонах) является суммой двух чисел, стоящих над ним. Число сочетаний находится в n+1 ряду на k+1 месте.
1 Блез Паскаль (1623-1662).