2.2.3. Формула включений и исключений

Часто комбинаторная конфигурация является объединением других, число комбинаций в которых вычислить проще. В таком случае требуется уметь вычислять число комбинаций в объединении.

Пусть А₁ и А₂ – 2 конечных множества. Тогда если А₁А₂=, то . Пусть теперь А₁А₂, тогда в каждый элемент из А₁А₂ будет учтен дважды. Поэтому . Последнюю формулу можно обобщить на случай произвольного числа множеств:

. (2)

Р

авенство (2) называется формулой включений и исключений. В частности, для трех множеств эта формула имеет вид:

.

Доказывается формула (1) методом математической индукции.

Пример: Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Решение: Всего чисел, меньших тысячи, 999. Из них

999:3=333 делятся на 3, 999:5=199 (ост. 4) делятся на 5, 999:7=142 (ост. 5) делятся на 7,

999:(3х5)=66 (ост. 9) делятся на 3 и на 5, 999:(3х7)=47 (ост. 12) делятся на 3 и на 7,

999:(5х7)=28 (ост. 10) делятся на 5 и на 7,

999:(3х5х7)=9 (ост. 45) делятся на 3, на 5 и на 7.

В итоге искомых чисел 999-(333+199+142-66-47-28+9)=457.

Следствие. Пусть А – конечное множество, А₁, …, А_n – его подмножества. Тогда

. (3)

Доказательство: Поскольку , а , то . Следовательно, . Применив для правой части последнего равенства формулу включений и исключений, получим искомый результат.

Пример: Дано множество А={0, 1, …, 10} и 3 его подмножества: А₁={a | a – четное}, А₂={a | a>6}, А₃={a | 2<a<8}. Сколько элементов множества А не принадлежат ни одному из этих подмножеств?

Решение: тогда по формуле (3) . Очевидно, что таким элементом является 1.

2.3. Биномиальные коэффициенты

Число сочетаний - это число различных n-элементных подмножеств k-элементного множества. Числа встречаются в формулах решения многих комбинаторных задач и обладают рядом свойств, которые бывают весьма полезны при выкладках.

2.3.1. Элементарные тождества

Основная формула для числа сочетаний позволяет получить следующие 3 тождества:

1) 2) 3)

Доказательство: 1) .

2)

.

3)

.

2.3.2. Бином Ньютона

Числа сочетаний называются также биномиальными коэффициентами. Смысл этого названия устанавливается следующей теоремой, известной также как формула бинома Ньютона.

Теорема. . (1)

Доказательство: 1) При n=1 левая часть равенства (1) равна x+y, а правая часть равна . Значит, формула (1) верна при n=1.

2) Допустим, формула (1) верна при каком-то произвольном натуральном n=m-1, т.е. допустим, что справедливо равенство: . Докажем, что тогда оно верно и при следующем n=m, т.е. что .

Доказательство: [по допущению]

=[из 1-ой суммы выделим 1-ое слагаемое, а во второй сумме заменим k на k-1]=

=

[по 2-му элементарному тождеству]=

.

Так как выполнены оба условия принципа математической индукции, то равенство (1) верно для всех натуральных n.

Следствие 1. .

Доказательство: По формуле бинома Ньютона .

Следствие 2. .

Доказательство:

По формуле бинома Ньютона .