2.2. Разбиения. Включения и исключения

2.2.1. Разбиения

Задача 1. Подсчитаем число разбиений конечного множества Х, где , на k подмножеств Х₁, Х₂, …, Х_k таких, что каждое Х_i содержит n_i элементов, т.е.

, при , , i=1, 2, .., k. (1)

Очевидно, что при этом n₁+n₂+…+n_k=n. Отметим, что для некоторых номеров i возможно . Число указанных разбиений при фиксированных n_i обозначается .

Замечание. В данном случае набор подмножеств множества Х в разбиении является упорядоченным, т.е. Х₁, Х₂, …, Х_k – упорядоченная последовательность множеств.

Лемма. .

Доказательство: Множество Х₁ может быть выбрано . После выбора Х₁ множество Х₂ можно выбрать способами (т.к. и ) и т.д. Тогда по правилу произведения выбор упорядоченной последовательности множеств Х₁, Х₂, …, Х_k можно произвести способами.

Теорема 1. .

Доказательство: [после сокращений]= , что и требовалось доказать.

Задача 2. Требуется найти число размещений с повторениями из n элементов по k элементов, в которых первый элемент встречается ровно n₁ раз, второй элемент встречается ровно n₂ раз, …, k–ый элемент встречается ровно n_k раз (n₁+n₂+…+n_k=n).

Теорема 2. Число таких размещений равно .

Доказательство: Каждому размещению указанного типа поставим в соответствие разбиение множества номеров элементов в выборке на подмножества Х₁, Х₂, …, Х_k, где Х_i – множество номеров элементов i–го типа в выборке. Очевидно, что при этом выполняются условия (1). Указанное соответствие между размещениями данного типа и разбиениями, удовлетворяющими (1), является взаимно однозначным (биективным). Следовательно, в силу теоремы 1, теорема 2 верна.

Задача 3. Сколькими способами можно разбить конечное множество Х, где , на подмножества, среди которых для каждого i=1, 2,…, n имеется подмножеств с i элементами, где ? Заметим, что в отличие от задачи 1 набор подмножеств в разбиении не является упорядоченным (т.е. порядок подмножеств в разбиении не является существенным). Обозначим число указанных неупорядоченных разбиений множества Х через .

Теорема 3. .

Доказательство: Каждое из неупорядоченных разбиений, рассмотренных при определении величины , можно, нумеруя блоки этого разбиения, привести способами к упорядоченным разбиениям вида

, …, , , …, , …, , …, ,

где , ,…, .

При этом объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств является совокупностью всех возможных разбиений множества Х. Следовательно, по правилу суммы, используя теорему 1, получим:

(где суммирование производится по всем рассматриваемым неупорядоченным разбиениям), откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.

Пример. Сколькими способами из группы в 25 человек можно сформировать 5 коалиций по 5 человек?

Решение: Пусть Х – множество людей в группе, – число коалиций по i человек, где i =1, 2, …, 25. Тогда из условия задачи следует, что , , а для других i , и, таким образом, искомое число равно .

2.2.2. Полиномиальная формула

- полиномиальная формула. Суммирование в ней производится по всем решениям уравнения n₁+n₂+…+n_k=n в целых неотрицательных числах.

Теорема о полиномиальных коэффициентах. .

Пример. Определим коэффициент с в слагаемом полинома (с приведенными подобными членами), получаемого из выражения .

Решение: в силу теоремы о полиномиальных коэффициентах .