2006 г. Павлов И.С.

Глава II. Комбинаторика.

Во многих практических случаях возникает необходимость найти все возможные комбинации объектов, удовлетворяющих определенным условиям, и подсчитать количество таких комбинаций. Иными словами, требуется пересчитать и перечислить элементы конечных множеств. Такие задачи называются комбинаторными.

2.1. Комбинаторные конфигурации

Для формулировки и решения комбинаторных задач используются различные модели комбинаторных конфигураций (схем). Наиболее популярными являются следующие 2 модели:

1. Дано k предметов. Их нужно разместить по n ящикам так, чтобы выполнялись заданные ограничения. Сколькими способами это можно сделать?

2. Рассмотрим множество функций F: X  Y, где , , . Без ограничения общности можно считать, что , , . Сколько существует функций F, удовлетворяющих заданным ограничениям?

Замечание. Все задачи комбинаторики можно переформулировать либо на языке “ящиков”, либо на языке “функций”. В нашем курсе отдадим предпочтение первой модели.

Далее рассмотрим различные комбинаторные конфигурации.

2.1.1. Принципы сложения и умножения

Пусть Х – конечное множество, состоящее из n элементов. Тогда говорят, что объект х из Х можно выбрать n способами: . Пусть Х₁, …, Х_k – попарно непересекающиеся множества. Тогда выполняется равенство

.

В комбинаторике этот факт называется правилом суммы. Для k=2 оно формулируется следующим образом:

Если объект х можно выбрать m способами, а объект у – другими n способами, то выбор “либо х, либо у” можно осуществить m+n способами.

Другим часто применяемым в комбинаторике правилом является правило произведения.

Если объект х можно выбрать m способами и после каждого из таких выборов объект у в свою очередь может быть выбран n способами, то выбор “х и у” в указанном порядке можно осуществить mn способами.

Правило произведения также можно обобщить на случай нескольких (трех и более) объектов.

2.1.2. Сочетания и размещения

Определение 2.1. Набор элементов x_i1,…, x_ik из множества X={x₁, …, x_n} называется выборкой объема k из n элементов или, иначе, (n, k)-выборкой.

Определение 2.2. Выборка называется упорядоченной, если задан порядок следования элементов в ней. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными.

Определение 2.3. Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая выборка называется неупорядоченной.

В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

Определение 2.4. Если элемент после выбора снова возвращается в множество X, то выборку называют выборкой с возвращением. Если же выбранный элемент не участвует в дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой без возвращения.

Определения 2.5.

а) Упорядоченная (n, k)-выборка с возвращением называется (n, k)-размещением с повторениями и обозначается .

б) Упорядоченная (n, k)-выборка без возвращений называется (n, k)-размещением без повторений или просто (n, k)-размещением и обозначается .

в) Будем называть (n, n)-размещения без повторений перестановками множества Х (обозначение - ).

г) Неупорядоченная (n, k)-выборка с возвращением называется (n, k)-сочетанием с повторениями и обозначается .

д) Неупорядоченная (n, k)-выборка без возвращения называется (n, k)-сочетанием без повторений или просто (n, k)-сочетанием и обозначается .

Итог определений 2.5 отражен в таблице.

Выборки	С возвращением (с повторением)	Без возвращения
Упорядоченные
Неупорядоченные

На языке распределения k шаров по n ящикам вышерассмотренные комбинаторные схемы (из определений 2.5) интерпретируются следующим образом:

Число способов заполнения n различных ящиков	без ограничения на число шаров, попавших в каждый ящик	в каждом ящике может находиться не более одного шара
k различимыми шарами
k неразличимыми шарами

Теоремы.

1. . Каждый из k элементов в (n, k)-выборке можно выбрать любым из n способов. По правилу произведения общее число способов равно .

2. . Первый элемент можно выбрать n способами, 2-ой – (n-1) способом, 3-ий – (n-2) способами, …, k-ый – (n-k+1) способом. Всего способов .

3. [т.к. 0!=1]=n!

4. Так как (упорядочиваем неупорядоченные выборки), то .

5. (без доказательства).

Примеры.

1. Сколькими способами можно составить код из 4 цифр для ячейки камеры хранения?

Каждую цифру можно выбрать 10 способами. Значит, по правилу произведения существует 10⁴ способов составления искомого кода.

2. В скольких случаях при игре в Спортлото (угадывание 5 номеров из 36) будут правильно выбраны а) ровно 3 номера, б) ровно 4 номера, в) ровно 5 номеров, г) не менее 3 номеров?

3 из 5 “правильных” номеров можно выбрать способами, а 2 оставшихся неправильных номера – способами. По правилу произведения искомое число равно

. В остальных случаях соответственно имеем:

б) ; в) 1; г) по правилу сложения 4650+155+1=4806.

3. Сколькими способами можно разложить 5 выигрышных билетов по 10 коробкам? Все выигрышные билеты считаются одинаковыми.

Поскольку порядок расположения билетов в коробках не имеет значения (выборки неупорядоченные), а сами билеты могут повторяться (т.е. в одной коробке может быть несколько выигрышных билетов), распределить билеты по коробкам можно способами.

Замечание к примеру 3. Если в условии данной задачи наложить еще одно ограничение: в каждой коробке – не более одного выигрышного билета, то комбинаторная схема будет иной (сочетания без повторений):

.