Лекция 13. Простейшие модели рынков

1. Модель распределения.

2. Модель обмена и цены.

3. Равновесие на рынке. Теорема Дербе.

4. Равновесие на рынке с производством.

1. Модель распределения.

Самой простой и начальной моделью рынка является следующая: участники экономики, рынка, их всего , хотят разделить между собой товары в количестве . При этом система предпочтений каждого участника задана на пространстве размерности , где видов товара и участников, т.е. каждого участника интересует распределение товаров по всей группе участ­ников. Итак, і-й участник (как любой другой) сравнивает наборы векторов: , где , – то, что достаётся і-му учаснику. Конечно, предполагается, что , .

Видно, что речь идет о выработке группового решения, которое учитывало бы предпочтения участников группы. Согласно теореме Эрроу, никакого приемлемого автоматического механизма формирования группового решения нет (кроме диктатуры, которая не приемлема) и в каждой кон­кретной группе дележ может произойти по-своему. Единственная научная рекомендация, носящая всеобщий характер, состоит в том, что искомое распределение должно быть оптимальным по Па­рето. Применительно к рассматриваемой ситуации это выглядит так.

Сначала скажем, что распределение допустимо, если . Распределение называется оптимальным по Парето, если, во-первых, оно допустимо, и, во-вторых, не существует допустимого распределения , такого, что для каждого , т.е. хотя бы одно из этих неравенств – предпочтений строгое.

Можно представить себе следующую ситуацию.

Участники рынка сидят перед богатством, которое им предстоит разделить. Ни у кого нет на это богатство никаких особенных прав. Они обсуждают, как это богатство разделить. Для начала обсуждается совершенно произвольное разделение. Затем постепенно оно улучшается. Наконец, все признают, что лучшего варианта раздела не существует, и раздел не совершается.

Ясно, что оптимумов по Парето много. Чисто экономические соображения, в общем, не дают однозначной рекомендации. Фактически экономист следит только за тем, чтобы не было разбаза­ривания. Затем на смену экономисту приходит политик, чтобы выбрать оптимум Парето, один из многих.

2. Модель обмена и цены.

Рассмотрим довольно реалистическую ситуацию. Пусть участников экономики имеют каж­дый уже какие-то наборы товаров. Это их частная собственность, охраняемая, кроме всего про­чего, законом. Все они пришли в «Дружбу», ходят по залам и присматриваются, как бы чего по­менять (известно, что такие рынки вполне могут существовать в военное время, например). При этом они законченные эгоисты, т.е. система предпочтений каждого, замкнута только на себя, на­бор соседа их интересует только с прицелом на возможный обмен (в этом одно из отличий от пре­дыдущей модели). Денег нет, только натуральный обмен. Легко понять, что такие обмены могут оказаться чрезвычайно выгодными обеим меняющимся сторонам. Классический пример самого А. Смита, когда дальнозоркий и близорукий имеют каждый не те очки, что надо, и в результате об­мена получат для себя ценнейшие вещи!

Подчеркнем, что пока люди ходят и присматриваются, прицениваются, обговаривают условия обмена, но обмена пока не совершают. Происходит, таким образом, пока обмен информацией. При этом условия сделок, вообще говоря, меняются. Но вот к 17:00 всё более-менее уже утряслось, ус­ловия сделок перестали меняться. Тогда совершаются все сделки, и люди расходятся.

Ясно, что окончательное распределение опять оптимально по Парето, но, кроме того, ни для одного участника оно не хуже первоначального, ибо обмены совершаются добровольно.

Пусть было у і-го участника, а – окончательное распределение, тогда . Но это еще не всё! Если есть коалиции, то они также могут влиять на обмены (простейший пример, когда члены одной семьи участвуют в обменах). Складывая вместе свои начальные ресурсы, члены коа­лиции могут реализовать для обмена любой набор товаров из своего суммарного запаса. Коали­ция значительно расширяет возможности ее членов для обмена. Если какой-то обмен окажется для коалиции не выгодным, то она участвовать в нем не будет, и этот обмен не состоится. Говорят в таком случае, что коалиция заблокировала этот обмен, вместе с тем и некоторое распределение, которое имело шанс быть окончательным.

Как и в случае кооперативной игры, можно определить ядро рынка (описанный рынок еще на­зывают экономикой частной собственности).

Ядром экономики (рынка) называется множество допустимых распределений, которые не бло­кируются никакой коалицией. По существу ядро представляет собой множество распределений, приемлемых для всех коалиций.

Математики нашли хорошие достаточные условия не пустоты ядра экономики частной собст­венности.

Теорема 1. Если предпочтения участников экономики непрерывны, то ядро не пусто, замкнуто и ограничено.

Условие непрерывности уже обсуждалось: непрерывность является достаточным условием для существования функции полезности.

В модели распределения конечное распределение должно быть оптимальным по Парето. В дан­ной рассматриваемой модели с частной собственностью это тоже имеет место.

При дальнейшем развитии математической теории в предположении большого количества уча­стников, что отвечает условиям практики удается доказать следующую теорему.

Теорема 2. Если предпочтения участников экономики непрерывны и перед обменом каждый участник имеет все товары, хотя бы в небольшом количестве, т.е. , то конечные распределе­ния существуют, т.е. ядро экономики не пусто; более того, допустимое распределение таково , т.е. может быть конечным, если и только если найдутся неотрицательные числа , не все равные нулю, и такие, что для всех и для любого дру­гого допустимого распределения , если , то для любого .

Теорема эта весьма сильная. Она устанавливает, что наступит ситуация равновесия и каждый участник «выжмет» из своего начального набора максимум полезности. При этом возникают особые числа , которые по смыслу являются ценами. Итак, теорема утверждает, что должна сложиться такая система цен , что если каждый участник продаст свой начальный набор по этим ценам, то на вырученные деньги он купит набор, являющийся наилучшим в смысле его системы предпочтений.