Глава 2. Геометрические характеристики косого геликоида
2.1 Параметрическое уравнение косого геликоида
Пусть OZ – ось вращения;
т.O – начало координат
Тогда:
принадлежит
прямой
где
угла между
и
.
Тогда уравнение:
(2.1)
где
–
образующая прямая
– ход
геликоида (есть
смещение по оси OZ
образующей при повороте ее на один
радиан)
– угол
поворота образующей от начального
положения (смещение
от
);
– тангенс
угла наклона образующей относительно
плоскости XOY
(2.1) - называется параметрическим уравнением косого геликоида.
Уравнение касательной плоскости и нормали
Вспомним параметрическое уравнение косого геликоида:
(2.1)
Запишем
Находим
частные производные по u,
v
функции
:
Решим матрицу:
(2.2)
(2.2) - уравнение касательной плоскости в произвольной точке.
- уравнение нормали в произвольной точке.
Первая квадратичная форма в произвольной и в конкретно взятых точках
Рассмотрим первую квадратичную форму в произвольно взятой точке:
;
(2.1)
Запишем Находим частные производные по u, v функции :
Вычисляем коэффициенты первой квадратичной формы:
Следовательно, первая квадратичная форма имеет следующий вид:
(2.4)
– первая квадратичная форма.
Рассмотрим квадратичную функцию в конкретно взятой точке:
Следовательно, первая квадратичная форма в конкретно взятой точке имеет следующий вид:
(2.6)
Вторая квадратичная форма
(2.1)
(2.1) - параметрическое уравнение косого геликоида
(2.7)
следовательно, (2.7) - вторая квадратичная форма.
2.6 Нормальная кривизна
(2.1)
(2.1) - параметрическое уравнение косого геликоида
(2.8) – нормальная кривизна.
2.7 Индикатриса Дюпена
(2.1)
(2.1) - параметрическое уравнение косого геликоида
Проверим:
пара
сопряженных парабол.
.
(2.9)
(2.9) – индикатриса Дюпена.
2.8 Полная и средняя кривизна
(2.1)
(2.1) - параметрическое уравнение косого геликоида
из предыдущих задач:
(2.10) – полная кривизна.
(2.11) – средняя кривизна.
2.9 Замечательные линии: уравнения линии кривизны; асимптотические линии
Найдем уравнения линии кривизны
Получаем:
Решаем:
или
(2.12)
(2.12) – уравнения линии кривизны
Найдем асимптотические линии
Из предыдущих задач:
Решаем:
(2.13)
(2.13) – асимптотические линии.