1.7 Замечательные линии поверхности: линии кривизны, асимптотические, геодезические

Если на поверхности S проведена произвольная линия L, то нормали поверхности, взятые вдоль линии L, образуют линейчатую поверхность, которая в общем случае будет «косой», т.е. не будет развертывающейся. Напомним, что поверхность называется развертывающейся, если она может быть развернута на плоскость.

Так, поверхность S, образованная нормалями прямого геликоида, взятыми вдоль его образующей l, является косой, так как ее линия сжатия, которая очевидно совпадает с l, перпендикулярна к образующим поверхности S.

Монж поставил и разрешил вопрос о разыскании на поверхности таких линий, вдоль которых нормали образуют развертывающую поверхность. Эти линии Монж назвал линиями кривизны. Важнейшее свойство линий кривизны выражается следующей теоремой.

Теорема 2. Для того, чтобы линия L, проведенная на поверхности S, была линией кривизны этой поверхности, необходимо и достаточно, чтобы ее направление всюду совпадало с главным направлением.

Определение. Линия γ на поверхности называется линией кривизны, если направление ее касательной в каждой точке M принадлежащей γ, является главным направлением в этой точке. Согласно теореме 2, направление линии кривизны всюду должно совпадать с главным направлением. Поэтому для разыскания уравнения линий кривизны нужно решить дифференциальное уравнение:

(1.46)

Линии, всюду имеющие асимптотические направления, называются асимптотическими. Из определения асимптотического направления следует, что кривизна нормальных сечений, касающихся асимптотической линии, равна нулю. Иными словами, эти нормальные сечения имеют в местах касания точки спрямления (в общем случае - точки перегиба). Обратно, если кривизна нормальных сечений, касающихся некоторой линии, равна нулю, то эта линия – асимптотическая.

На поверхности прямого геликоида все винтовые линии и все прямолинейные образующие являются асимптотическими линиями. Вообще на всякой линейчатой поверхности образующие являются асимптотическими линиями, ибо нормальное сечение в направлении образующей совпадает с самой образующей.

Основное свойство асимптотических линий выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Если кривая (L) есть асимптотическая линия поверхности S, то соприкасающаяся плоскость в любой ее точке M есть касательная плоскость поверхности S.

Действительно, согласно определению асимптотического направления точка линии (L), бесконечно близкая к M, должна отстоять от касательной плоскости P в точке M на расстояние, порядок которого выше второго (относительно ). Но расстояние от точки до плоскости P, проходящей через точку M, имеет порядок выше второго, в том и только случае, если плоскость P является соприкасающейся плоскостью. Этим наша теорема и доказана. Справедлива и обратная теорема.

Теорема 4. Если соприкасающаяся плоскость линии (L) на поверхности S всюду совпадает с касательной плоскостью, то (L) есть асимптотическая линия.

Если на поверхности S имеется прямая линия (λ), то эта линия по доказанному - асимптотическая. Теорема 3 тогда теряет смысл, но ее можно распространить и на этот случай, ибо вследствие неопределенности соприкасающейся плоскости ничто не мешает согласиться отождествлять ее с касательной плоскостью поверхности S.

Сопряженные направления вдоль асимптотической линии совпадают с направлениями самой асимптотической линии. Поэтому направления сферического изображения асимптотической линии и самой асимптотической линии в соответственных точках взаимно перпендикулярны. По этой же причине семейство асимптотических линий, и только такое семейство, не может быть дополнено до сопряженной сети.

Известно уравнение, определяющее асимптотические направления в данной точке:

. (1.47)

Это уравнение, если в нем считать , , функциями от u, v, представляет дифференциальное уравнение асимптотических линий. Уравнения

, , (1.48)

на которые распадается уравнение (1.47), определяют два семейства асимптотических линий.

Для того чтобы семейство параметрических линий v=const состояло из асимптотических линий, необходимо и достаточно, чтобы тождественно обращался в нуль коэффициент второй формы, т.е. чтобы

(1.48)

Действительно, если v=const есть асимптотическая линия, то уравнение (1.47) должно удовлетворяться при du=1, dv=0; подставляя в него эти значения, находим Обратно, при уравнение (1.47) имеет вид

dv(2 du+dv)=0 (1.49)

и удовлетворяется при dv=0. Точно так же условие необходимо и достаточно, чтобы линии u=const были асимптотическими. Чтобы оба семейства координатных линий были асимптотическими, необходимо и достаточно условие .

Линия l на поверхности называется геодезической, если ее главная нормаль во всех точках линии l совпадает с нормалью к поверхности. Если l есть линия прямая, то она также считается геодезической, поскольку любая нормаль к прямой может быть принята за главную.

Геодезические линии имеют важное значение в механике. Если материальная точка движется по поверхности S при отсутствии внешних сил, действующих на точку, то ускорение, испытываемое точкой, вызывается силой реакции поверхности, которая всегда направлена по ее нормали. Следовательно, вектор ускорения , где t- время, имеет направление по нормали к поверхности S, так что соприкасающаяся плоскость траектории l движения содержит в каждой своей точке нормаль к S. Но нормаль к поверхности есть в то же время и нормаль к линии l; поэтому в рассматриваемом случае она будет для l главной нормалью, и линия l есть геодезическая.

На сфере геодезическими являются окружности больших кругов, так как главная нормаль такой окружности в каждой ее точке проходит через центр сферы и совпадает, следовательно, с нормалью к сфере.

Выведем теперь правило для разыскания геодезических линий. Пусть уравнение поверхности S есть , а геодезическая линия поверхности задана уравнениями

, , (1.50)

где s-естественный параметр. Для упрощения выкладок мы примем, что поверхность S отнесена к ортогональной системе гауссовых координат:

, , (1.51)

общность рассуждений при этом, конечно, не нарушится.

Вектор будет направлен по главной нормали к линии l, а так как линия l есть геодезическая, то этот вектор перпендикулярен к касательной плоскости поверхности, так что

, , (1.52)

поскольку оба вектора лежат в касательной плоскости. Но

,

(1.53)

Умножив обе части равенства (1.53) на , затем на , ввиду (1.51) и (1.52) находим:

, (1.54)

. (1.55)

Дифференцируя по u и по v равенства (1.51), получим:

, , ,

, , ,

отсюда вытекает, что (так как )

, , , (1.56)

, , .

В силу(1.56) формулы (1.54) и (1.55) дают:

; (1.57)

. (1.58)

При интегрировании системы уравнений (1.57) и (1.58) следует еще учесть, что функции и связаны равенством:

. (1.59)

Замечая, что в уравнениях (1.57), (1.58), (1.59) все множители при производных от искомых функций выражаются через коэффициенты , первой квадратичной формы и их производные, и ввиду того, что внутренними свойствами поверхности S являются те ее свойства, которые могут быть выражены с помощью коэффициентов , и первой квадратичной формы поверхности, приходим к такому важному выводу:

Понятие геодезической линии поверхности принадлежит ее внутренней геометрии.

Уравнения (1.57), (1.58), (1.59) дадут нам возможность выразить вдоль геодезической линии координаты u и v как функции от s. Более удобным является дифференциальное уравнение, позволяющее для геодезической линии непосредственно установить функциональную связь между u и v. Для вывода этого уравнения исходим из соотношений:

,

,

с помощью которых находим из (1.57) и (1.58):

(1.60)

Согласно теории дифференциальных уравнений равенство (1.60) определяет однозначно v как функцию от u, если при некотором будут заданы значения и . Поскольку отношение задает направление геодезической линии, то нами доказано следующее утверждение:

Через каждую точку ( , ) поверхности в данном на ней направлении проходит одна и только одна геодезическая.