1.5 Индикатриса Дюпена

Рассмотрим точку M гладкой поверхности S, заданной уравнением (1.2). Если в этой точке , то из формулы (1.35) следует, что нормальная кривизна любой линии поверхности, проходящей через точку M, равна нулю. В дальнейшем мы исключаем этот случай и предполагаем, что в точке M хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Установим связь между нормальными кривизнами линий на поверхности S, проходящих через точку M и имеющих разные касательные. В касательной плоскости поверхности S в точке M рассмотрим пучок прямых Ω с центром M. На каждой из прямых этого пучка от точки M по обе стороны отложим отрезки длиной . Здесь - отличная то нуля нормальная кривизна линий на поверхности, для которых данная прямая является касательной.

Линия, образованная концами отложенных таким образом отрезков, называется индикатрисой кривизны поверхности (или индикатрисой Дюпена) в точке M. В касательной плоскости введем аффинную систему координат M и найдем уравнение индикатрисы кривизны в точке M. Пусть P(x, y) –текущая точка индикатрисы, - единичный направляющий вектор прямой MP, а u=u(s), v=v(s)- какая-нибудь гладкая линия на поверхности, для которой вектор является единичным касательным вектором в точке M. Тогда по построению . Отсюда, учитывая формулу (1.31), получаем:

.

Так как векторы и неколлинеарны, то

, .

Запишем формулу

. (1.37)

Подставив сюда значения и из предыдущих формул и сократив на , получим уравнение индикатрисы Дюпена в точке M:

. (1.38)

Здесь - числа, не равные нулю одновременно. Так как нас интересуют только вещественные линии, то возможны следующие три случая:

а) . Уравнениями (1.38) определяется эллипс (рис. 1.3, а). В этом случае точка M называется эллиптической точкой поверхности S. Частным случаем эллиптической точки является омбилическая точка, в которой индикатриса Дюпена есть окружность.

б) . Уравнениями (1.38) определяется пара сопряженных гипербол (рис. 1.3, б). В этом случае точка M называется гиперболической точкой поверхности S.

в) . Уравнениями (1.38) определяется пара параллельных прямых (1.3, в). В этом случае точка M называется параболической точкой поверхности S.

а) б) в)

Рис. 1.3.

1.6 Средняя и полная кривизны поверхности

Средняя кривизна H и полная кривизна K поверхности в данной ее точке P определяется соответственно равенствами:

, , (1.39)

где - главные кривизны поверхности в точке P. Если известны H и K, то по формулам Виета можно составить квадратное уравнение, из которого найдутся обе главные кривизны . По причинам, которые выяснятся далее, полную кривизну K называют также гауссовой кривизной.

Выведем формулы для вычисления средней и полной кривизны. С этой целью в формуле:

для кривизны нормального сечения в ее правой части разделим числитель и знаменатель на и положим ; в результате мы найдем:

. (1.40)

Из (1.40) следует:

. (1.41)

Равенство (1.41) показывает, что число K не может принимать любые значения: для K возможны лишь те, при которых квадратное относительно

уравнение (1.41) имеет действительные корни, для чего необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения

Δ= (1.42)

был неотрицательным. Раскрыв в (1.42) скобки, видим, что кривизна K должна удовлетворять неравенству

.

Поскольку = , то, согласно известным правилам для решения неравенств второй степени, кривизна должна заключаться между корнями и квадратного уравнения

. (1.43)

Отсюда заключаем, что эти корни и являются главными кривизнами

, ,

вследствие чего

, K= .

Применяя к квадратному уравнению (1.43) формулы Виета, получаем искомые формулы для средней и полной кривизны:

,

. (1.44)

Так как , то знак полной кривизны K зависит лишь от знака числителя . Следовательно, в эллиптических точках поверхности K>0, в гиперболических точках K<0, в параболических точках K=0.

Для разыскания тех значений , которые соответствуют главным направлениям, надлежит, согласно правилам дифференциального исчисления, найти из (1.40) производную и приравнять ее нулю. На этом пути мы придем к уравнению

(1.45)

из которого и найдутся значения и , отвечающие главным направлениям. Для того, чтобы избежать затруднений, возникающих при , заменим в уравнении (1.45) θ на и освободимся от знаменателей, после чего (1.45) примет такой вид: