1.4 Нормальная кривизна и вторая квадратичная форма поверхности
Кривизна
линий, расположенных на поверхности,
связаны рядом замечательных соотношений.
Для того чтобы получить эти соотношения,
следует изучить расположение
сопровождающего трехгранника кривой
по отношению к поверхности. При этом
касательный вектор кривой 
всегда расположен в касательной плоскости
поверхности, а векторы главной нормали
и бинормали наклонены под некоторыми
углами к этой плоскости. Рассмотрим
вектор кривизны
кривой, расположенной на поверхности. Проекция вектора кривизны линии на нормаль поверхности в точке, через которую проходит эта прямая, называется нормальной кривизной этой кривой.
При
этом нормаль считается ориентированной
с помощью заранее выбранного единичного
вектора 
.
Нормальная кривизна обозначается через
,
а обратная ей величина R
называется радиусом
нормальной кривизны.
Так как нормаль считается ориентированной,
то проекция на нее не может быть
положительной или отрицательной, так
что радиус нормальной кривизны выражается
отрицательным числом в противоположность
существенно положительному радиусу
кривизны кривой, рассматриваемой
независимо от поверхности.
Таким образом, нормальная кривизна
(1.28)
Пусть
на регулярной поверхности класса 
,
заданной параметрическим уравнением
, (1.29)
проведена через точку P регулярная линия l, определяемая равенством
,
,
(1.30)
где s- естественный параметр линии l. В точке P единичный касательный вектор
.
(1.31)
По первой формуле Серре-Френе
,
(1.32)
где
-
единичный вектор главной нормали линии
l
в точке P,
а
-ее
радиус кривизны (число, обратное ее
кривизне k:
)
в той же точке. Из (1.31) и (1.32) получаем:
(1.33)
(где
-
производная второго порядка 
и т.п.)
Умножая
обе части равенства (1.33) скалярно на
единичный вектор
нормали к поверхности в точке P
и
введя обозначения: θ- угол между векторами
и
,
,
,
,
(1.34)
найдем,
поскольку 
:
;
(1.35)
мы
заменим при этом 
его выражением из (1.24).
Угол
между касательной плоскостью к поверхности
в точке P
и соприкасающейся плоскостью линии l
в той же точке равен 
.
В итоге мы приходим к такому выводу.
Теорема1. Если две линии, проведенные по простому куску регулярной поверхности через его точку P, имеют в этой точке одну и ту же касательную и одну и ту же соприкасающуюся плоскость к поверхности в точке P, то кривизны этих линий в точке P одинаковы.
Если
соприкасающаяся плоскость линий и
касательная плоскость к поверхности в
точке P
совпадают, то угол θ
,
,
и проведенное выше доказательство
теоремы 1 имеет силу.
Теорема 1 сводит разысканию кривизны любых линий на поверхности к этой же задачи для ее плоских сечений.
Выражение, стоящее в числителе правой части формулы (1.35), носит название второй квадратичной формы поверхности. Поскольку
,
(1.36)
то в виду (1.34)
,
,
.