2. Касательная плоскость и нормаль

Касательной плоскостью к поверхности   в данной точке P (x₀, y₀, z₀) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка  P (x₀, y₀, z₀) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L, проходящую через точку Р.

Пусть х = х(t), у = у(t), z = z(t) –  параметрические уравнения линии L.

Предположим, что: 1) функция F(х, у, z) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции  х(t), у(t),z(t) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s , то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x(t), у(t), z (t)] = 0.

Продифференцировав это тождество по переменной t, используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x₀, y₀, z₀):

.

Пусть точке Р соответствует значение параметра t₀, то есть x₀ = x (t₀), y₀ = y (t₀),    z₀ = z (t₀). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р, примет вид

.                   (1.14)

Формула (1.14) представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них – постоянный вектор

,

не зависящий от выбора кривой на поверхности   .

Второй вектор  –  касательный в точке Р к линии L, а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.

П

Рисунок 1.2.

ри введённых обозначениях равенство (1.14) перепишем как  . Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы   и   перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые (см. рис. 1.2), проходящие через точку Р на поверхности s , мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же   от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы

расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s ,а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор   является направляющим вектором нормали к поверхности.

Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:

(1.15)

(1.15) – уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x₀, y₀, z₀) к поверхности s , заданной уравнением F(х, у, z) = 0;

(1.16)

(1.16)– уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s .

1.3 Первая квадратичная форма поверхности

Координатные векторы и независимы между собой, и следовательно, определяют в касательной плоскости аффинную систему координат, которую мы будем называть местной системой, соответствующей точке прикосновения этой плоскости к поверхности.

Про всякий вектор, принадлежащий касательной плоскости, или тензор, определяющий полилинейную функцию таких векторов, мы будем говорить, что они принадлежат поверхности в точке прикосновения данной касательной плоскости. Мы будем всегда задавать такие векторы и тензоры их контравариантными, ковариантными или смешанными координатами по отношению к местной системе координат в той же точке прикосновения. Если вектор или тензор, принадлежащий поверхности, задан в каждой ее точке или в каждой точке некоторой ее области, то мы будем говорить, что на поверхности задано векторное или тензорное поле. Координаты вектора или тензора такого поля, очевидно, являются функциями криволинейных координат точки поверхности.

Важнейшим примером тензора, принадлежащего поверхности, является метрический тензор. Его ковариантные координаты определяются равенством

(1.17)

и, очевидно, являются функциями криволинейных координат. Во всех неособых точках поверхности они подчиняются неравенствам

, (1.18)

(1.19)

Пусть на регулярной поверхности S, заданной уравнением

,

проведена регулярная линия l, вдоль которой

u= , v=ψ(t) . (1.20)

Найдем длину дуги этой линии от точки ( до точки ( . Согласно формуле

длина s указанной дуги равна

(1.21)

В (2.5) подынтегральное выражение ds равно , поскольку , . Но

, (1.22)

причем, ввиду (1.20)

, (1.23)

Из (1.22) следует, что

(1.24)

где

, , . (1.25)

Дифференциальная квадратичная форма

, (1.26)

в которой коэффициенты , , заданы как функции от гауссовых координат u, v равенствами (1.25), называется первой квадратичной формой поверхности S. Если эта форма известна, т.е. если в ней есть , , даны как функции от u, v, то согласно вышеизложенному длина дуги линии l на поверхности S, заключенной между точками и , если задана линия уравнениями (1.20), определится по формуле

, (1.27)

где в функции , , вместо u, v надо подставить их выражения из (1.20), а du и dv надо заменить по (1.23).