4 Многокритериальная оптимизация в условиях определенности

Математическая модель: (A, f₁ - f_k) где A – множество допустимых исходов, f₁ - f_k – множество критериев (числовые функции заданные на множестве А). f_j(a), a ϵ A оценка исхода а по j критерию. Критерии бывают позитивные и негативные. Позитивный – если ЛПР стремится к увеличению критерия. Негативный – к уменьшении. Пусть D_{j –} множество значений фун f_j т.е множество всех оценок по j критерию. D = ПD_j – множество векторных оценок. Для любого a ϵ D набор (f₁(a), f₂(a) – f_k(a)) – это векторная оценка исхода а. Сравнение двух исходов заменяется сравнением их векторных оценок. Отношение доминирования по Парето. Векторная оценка d = (d1-dk) доминирует по Парето векторную оценку d’ = (d’1-d’k), ели для любово j имеет место неравенство dj>=dj* и по крайней мере для одного индекса j dj>d’j. Исход а1 доминирует исход а2 (а1>а2), если векторная оценка а1 доминирует а2. Парето оптимальность исхода а*, означает что он не может быть улучшен ни по одному критерию без ухудшения по какому либо др критерию. Методы сужения. Указание нижних границ критериев. Дополнительная информация об оптимизационном исходе а* ϵ А имеет вид f_j(a*)>= ɤ _j, число ɤ рассматривается как нижняя граница по j критерию. Субоптимизация. Выделяют один из критериев и считают его главным, по остальным устанавливают нижние границы. Оптимальным считает исход а* ϵ А максимизирующий главный критерий, у которого оценки исхода а* по остальным критериям не меньше назначенных. Лексикографическая оптимизация. Упорядочивает критерий по относительной важности, например: З>Д>В. Метод линейной свёртки. Построение обобщенного критерия или метод линейной свертки – это взвешенная сумма частных критериев, которая превращает векторную оценку в скалярную; d=(d1-dk), ɤ(d) = d1α1 + d2α2 + dkαk, числа α_j называют весовыми коэффициентами, они показывают относительную важность j критерия. (При сложении α в сумме должна быть 1). Принципы сужения парето-оптимального множества. Учёт качественной важности критериев. Качественными оценками важности являются сужения: 1. Критерий k_i (k_i>k_j). 2. Критерий k_i и k_j равноважны (k_i≈k_j). Качественные критерии менее информативны чем количественные, но они проще для человека и поэтому более надежны. Критерий k_i и k_j равноважны по мнению ЛПР, если (d1 – di – dj - dn)=(d1-dj-di-dn). Критерий k_i важнее k_j по мнению ЛПР, если (d1 – di – dj - dn)>(d1-dj-di-dn), при этом остальные оценки кроме di и dj должны быть равны. Учёт количественной важности критериев. Пусть ЛПР владеет инф, что критерий ki важнее в H раз критерий kj (ki/kj=h, h>1). Учет количественной важности критериев опирается на расширение исходной модели.

5 Принятие решений в условиях неопределенности

Реализационная структура ЗПР вкл в себя X, |x|=n – множество альтернатив; Y, |y|=m – мн состояний среды, A, |a|=mn – мн исходов, X x Y →А – фун реализации F, (X, Y, A, F) – реализационная структура. Оценочную структуру ЗПР зададим в виде оценочной функции f: xy→R, R – мн вещественных чисел. Число f( xy) – указывает полезность исхода, когда ЛПР выбирает альтернативу х, а среда находится в состоянии у. Особенность ЗПР в усл неопр явл то обстоятельство, что ЛПР выбирая альтернативу х не знает состояния среды у. основной метод, позволяющий найти оптимальную альтернативу для условий неопределенности состоит в следующем: формулируется некоторая гипотиза о состоянии среды, позволяющая дать каджой альтернативе числовую оценку. Тогда альтернативы могут сравниваться по предпочтению и оптимальной будет альтернатива с ниабольшей оценкой. Пусть x={x1-xi-xn}, y={y1-yj-ym} математичес моделью ЗПР в усл неопр является матица выигрышей или платежная матрица. Значение оценочной фун f(i,j) = a*,это выигрыш ЛПР когда он выбирает альтернативу i, а среда находится в состоянии j. Критерий Лапласа. Основан на гипотезе равновероятностей: «т.к. мы ни чего не знаем о состоянии среды, то считаем их равновероятностными». Имеет вид: L(i) = 1/m∑a_i^j - это средняя арифметическая выигрышей находится в i строке. Оптимальной будет альтернатива i*, у которой L(i*) = max L(i). Основной недостаток кр состоит в том, что может происходить «эффект компенсации маленьких выигрышей большими». Кр. Л. Эффективен при большом числе производимых товаров (испытаний). Критерий Вальда. Основан на гипотезе антагонизма: «при выборе решения следует рассчитывать на самый худший вариант». Оценка альтернативы W(i) = min a_i^j т.е. min число в строке. Оптимальной считается альтернатива максимизирующая функцию W, W(i*) = maxmin a_i^j. Альтернатива i* наз максиминной, а сам принцип принципом максимина или принципом максимального гарантированного результата. Основной недостаток – учитывается худший вариант. Критерий Гурвица. Оценкой альтернативы i является взвешанная сумма: H_α(i) = αmin a_i^j + (1-α)max a_i^j, где a – показатель пессимизма. Критерий Сэвиджа. Основан на преобразовании начальной матрицы выигрышей (a_i^j) в матрицу рисков (r_i^j). Риском при выборе альтернативы i в состоянии срелы j называется число r_i^j = β^j – α_i^j где β^j – это max α_i^j , r_i^j –это мера «сожаления» возникающая от незнания истинного состояния среды. Для кр С. Оптимальной считается альтернатива минимизирующая максимальный риск, это минимаксный кртерий, т.е. для Вальба максимальный.