1.1 Элементы теории множеств

В мн нет порядка элементов – {a,b,c}={b,c,a}. Множество – {a,b,c}. Совокупность объектов – {a.b.a.c}. в множестве каждый элемент уникален. Из универсального множества берем элементы V = {A…z}. {a…z, A…Z}- универсум. Пустое мн\во – содержит элементов 0. Мощность – количество элементов в множестве. Способы задания множества: 1. Перечисление элементов А ={a1 a2 …}. 2. Характеризация элементов множества B={x/x – студент УГГУ}. 3. Пораждающая процедура C = {x/x=2n, nϵN}, N=1,2,3. Свойства множеств: 1. Каждый элемент множества принадлежит некоторому универсуму. 2. Каждый элемент множества уникален и может быть включен в него 1 раз. 3. Каждое множество имеет характерный признак, по которому каждый элемент универсума может быть включен в него или нет {x,y,z}={z,x,y} нет порядка. Теоретико-множественные операции над множествами. 1. A v B – объединение, множество принадлежит А или В. 2. А∩В – пересечение, множество элементов принадлежит А и В. 3. А\В – разность, множество элементов А, но не В. 4. А+В – симметрическая разность, множество элементов принадлежит А или В, но не обоим вместе. Свойство операций над множествами: 1. А v А = А, А∩А = А. 2. А v 1 = 1, А∩1=А. 3. А v 0 = А, А∩0=0, 4. А v В = А ∩ В, А ∩ В= А v В – закон Де Моргана, 5. А v (В∩С) = (А v В)∩(А v С), А ∩ (В v С) = (А∩В) v (А∩С). Вектор – упорядоченный набор элементов a=(a,x,y,z). Векторы могут сравниваться по предпочтению. Вектор а не менее предпочтительнее вектора в, если компоненты вектора а не менее предпочтительны компонентов вектора в. Пример: а=(3,4,1,2) b=(2,2,1,2) c= (1,1,2,1), a>b векторы а и с не сравнимы по предпочтению. Множество М_п ={a,c} – паретооптимальное множество. Декартово произведение называется множество всех возможных векторов, где первый элемент а ϵА , в ϵ В.

1.2 Нечеткие множества

Ученые доказали, что человеку несвойственно принимать (мыслить) решения только в количественных характеристиках, он мыслит качественными категориями, например А существенно меньше В или С работает лучше чем Д и при этом делает четкие выводы. Н.М\м Х наз\ся совокупность пар х= {S_x, µ_x}, где S_x = {х₁ - х_n} – носитель определяющий элементы множества Х; µ_x – функция принадлежности элемента Х_i множеству Х, 0 < µ <= 1. Операции над Н.М. 1. Дополнение (инверсия, НЕ) Ā = {a/µ’(x)} где µ’(x) = 1- µ(x). А = {а/0,2; в/0,3; с/0,9}; Ā = {а/0,8; в/0,7; с/0,1}. 2. Объединение (дизъюнкция, ИЛИ) A v B = { x/µ’(x)} где µ’(x) = max (µ_A(x), µ_B(x)). 3. Пересечение (конъюнкция, И) A ∩ B = { x/µ’(x)} где µ’(x) = min (µ_A(x), µ_B(x)). 4. Разность A\B ={ x/µ’(x)} где µ’(x) = max (µ_A(x) - µ_B(x), 0).

1.3 Отношения

Отношение между парами объектов называется бинарное, аRв. Бинарное отношение – подмножество декартово произведения множеств. А х В.задание графр через отношения: xx={x1,x2,x3}x{x1,x2,x3}={x1x1; x1x2; x1x3; x2x1; x2x2; x2x3; x3x1; x3x2; x3x3}, xx=|x||x|=9. {x1x2; x2x3; x3x3} R=»x и y связаны ребром». Свойство отношений: 1.рефлексивность xRx 2. Симметричность xRy=yRx 3. Транзитивность xRy и yRz = xRz. 4. Отношение эквивалентности – если соблюдаются все 3 свойства. отношение порядка – если антисимметрично, и если R – рекульсивно, то оно наз отношение первного порядка, если антирефлексивно – строгово порядка. Функция – бинарное отношение f, которое принадлежит х, ставит в соответствии 1 и только 1 у, т.е. выполняется xfy (y=f(x)).