11. Движение центра масс твердого тела.

Центр масс или барицентр в физике — это геометрическая точка, характеризующая распределение масс в теле или системе тел. Центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, если бы к ней были приложены те же внешние силы, которые приложены к системе.

Положение центра масс определяется следующим образом:

гдеrc — радиус-вектор центра масс,ri — радиус-вектор i-й точки системы,mi — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

, где M — суммарная масса системы, V — объём.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию поступательного движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

12. Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

, где: dm = ρdV — масса малого элемента объёма тела dV, ρ — плотность, r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.

Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера) момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями: .

Теорема Штейнера Если I0 — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии d от неё, равен I = I0 + md2, где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равна:

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины: Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции JO (или момент инерции относительно точки O) - это величина где: dm = ρdV — масса малого элемента объёма тела dV, ρ — плотность, r — расстояние от элемента dV до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: