19. Уравнения движения в механике сто.

В нерелятивистской механике, как это следует из преобразований Галилея, ускорение материальной точки не зависит от выбора системы отсчета. Оно одинаково во всех инерциальных системах. Поэтому понятна та особая роль, которая отводилась в механике Ньютона равноускоренному движению материальной точки. Однако это уже не так в релятивистской механике. В ней ускорение (определяемое обычным образом как производная от скорости частицы dv/dt) оказывается разным в разных инерциальных системах отсчета. Поскольку скорость частицы ни в одной системе отсчета не может превысить скорости света, равноускоренное движение в релятивистской механике в течение достаточно большого промежутка времени в некоторой фиксированной системе отсчета вообще невозможно (в противном случае скорость частицы в этой системе могла бы превзойти скорость света).

При рассмотрении произвольного движения точки среди всех инерциальных систем отсчета имеется одна выделенная (в каждый данный момент времени). Это так называемая собственная (или сопутствующая) система, которая движется вместе с частицей и в которой скорость частицы равна нулю. Понятно, что если частица не движется равномерно и прямолинейно, то в каждый момент времени это, очевидно, будут разные системы отсчета. Так вот, применительно к этой системе отсчета можно определить релятивистское равноускоренное движение частицы, как движение, при котором остается постоянной величина ускорения w в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета. Наша цель сейчас будет определить характер этого движения в некоторой (лабораторной) системе.

Для простоты рассмотрим движение вдоль оси x. Согласно формуле для сложения скоростей

Вычисляя дифференциал от этой величины, получаем

Разделив это выражение на ,

получим связь между ускорениями в системах K и K':

Пусть в лабораторной системе отсчета скорость частицы vx = v. В собственной системе отсчета (для которой V = v) скорость v'x = 0. Обозначая (постоянное) ускорение в этой системе отсчета через w получаем для ускорения в лабораторной системе. Отсюдаили. Выбирая начальные условия v = 0 при t = 0, имеем const = 0. Тогда. Интегрируя еще раз и полагая x = 0 при t = 0, получим:. При wt<< c эти формулы переходят в известные классические выражения для случая равноускоренного движения. При, скорость стремится к постоянному значению, равному скорости света c.

Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается интегралом , где Arsh x функция обратная sh x. Присобственное время растет по значительно более медленному, чем t, закону. Так, при движении с ускорением^2, равным ускорению силы тяжести на поверхности Земли, в течениелет (по часам космонавта) на Земле при этом пройдет срокРассмотренное нами выше релятивистское равноускоренное движение называют еще гиперболическим. Действительно, связьмежду координатой и временем при таком движении в лабораторной системе отсчета можно переписать в видеВ координатах (x, ct) это есть уравнение гиперболы с фокусом на оси x в точке xc = –c2/w. Как следует из рисунка, фотон, посланный из начала координат x = 0, позже момента времени c/w уже не догонит вылетевшую оттуда частицу в момент t = 0. Интересной особенностью гиперболического движения является также то, что движущийся таким образом электрический заряд не излучает электромагнитных волн!