1.Показательная функция. Её свойства и график.

Основные свойства степени:

Пусть a>0, b>0, x; x₁;x₂ – любые числа тогда:

1. a^{x1 .} a^x2 = a ^x1+x2

2. a^x1/ a^x2 = a ^{x1- x2}

3. (a^x1) ^x2 = a ^{x1 x2}

4. (ab)^x = a ^xb ^x

5. (a/b) ^x = a ^x/b ^x

6. a^x > 0

7. a^x >1 если a>1 ; x>0

8. a^x1 > a^x2 если a>1 ; x₁>x₂

9. a^x1 < a^x2 если 0<a<1 ; x₁>x₂

В практике часто используется функция вида y= a^x где a-заданное число, x-переменная

Такие функции называются показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показателем функции является показатель степени.

Показательная функция-это функция вида y= a^x, где a-заданное число;

a>0 ; a≠1

Свойство показательной функции

1 область определения

D(y)=R т.е любое число

2 область значения

E(y)= (0; + ∞)

3 a) Показательная функция б) показательная функция

возрастает на всей области убывает на всей области

определения при a>1 определения при a>0 ; но a<1

2. Показательные уравнения

Показательное уравнение- это уравнение в котором неизвестное содержится в показатели степени.

Решением показательных уравнений часто сводиться в решение уравнений. a^x = a^b где a>0, a≠1; x-неизвестное.

Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковыми основаниями равны тогда и только тогда, когда их показатели равны. a^x = a^b ↔ x=b

3. Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств часто сводиться к решению неравенства a^x > a^b или a^x < a^b

Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания и убывания функции.

Для возрастающей функции Для убывающей функции

большему значению функции большему значению функции

соответствует большее соответствует меньшее

значение аргумента. значение аргумента

Если 1) а>1 то a ^f(x)>a^g(x) ↔ f(x) > g(x)

2) 0<a<1 то a ^f(x)>a^g(x) ↔ f(x) < g(x)

4. Логарифмическая функция её свойства и график

Функция заданная формулой вида y=log_ax где a>0; a≠1 называется логарифмической функцией.

Свойства логарифмической функции

1 D(y)= (0; + ∞)

2 E(y)=( ^--∞; ∞)

3 a) функция y=log_ax возрастает на всей области определения при a>1

б) функция y=log_ax убывает на всей области определения при 0<a<1

4 a) Если a>1, то функция y=log_ax принимает положительное значения

при x>1, отрицательное при 0<x<1

б) Если 0<a<1, то функция y=log_ax принимает положительное

значения при 0<x<1, отрицательное при x>1

Логарифмическая функция y=log_ax и показательная функция у=a^x

где a>0, a≠1 взаимно обратны.

Графики этих функций симметричны относительно прямой у=x

5. смотреть пункт 3

6, 7,8 Логарифм с произвольным основанием.

Основное логарифмическое тождество.

Уравнение a^x=b где a>0 ; a≠1 ; b>0 имеют единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b по основанию a.

Обозначение log_ab - логарифм числа b по основанию a.

Логарифмом положительного числа по основанию a, где a>0 ; a≠1; называется показатель степени в которую надо возвести числа a, чтобы получить число b.

(основное тригонометрическое тождество)

Действия нахождения логарифма числа называется логарифмированием.

Свойство логарифмов

Пусть a>0 ; a≠1 ; b>0 ; с>0

1. log_ab + log_ac = log_a(bc)

2. log_ab - log_ac = log_a(b/c)

3. log_ab^r = r log_ab

4. log_aa = 1

5. log_a 1 = 0

6. log_a^kbⁿ = n/k log_ab

7. log_ab = 1/ log_ba

8. a^logbc = c^logba

9. log_ab =log_cb / log_ca ( формула перехода к новому основанию.)

где a>0 ; a≠1 ; b>0 ; с>0 ; с≠1

Десятичные и натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа- называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо log₁₀b

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где е- иррациональное число равное 2,71. При этом пишут ln b, вместо log_eb.