Визначення довірчого інтервалу для дисперсії

Як указувалося раніше, за оцінку для дисперсії приймається величина , яка є сумою n випадкових величин виду . Ці величини не є незалежними, тому що в кожну з них входить величина , що залежить від усіх Х_і. Однак при збільшенні n (обсягу вибірки) закон розподілу цієї суми прагне до нормального закону з параметрами:

- математичним сподіванням оцінки дисперсії

;

- дисперсією оцінки дисперсії

, (3.28)

де ₄ - четвертий центральний момент випадкової величини Х.

Щоб скористатися формулою (3.28) потрібно знати значення ₄ і D, які у даному випадку невідомі.

Замість дисперсії D можна скористатися її оцінкою .

Четвертий центральний момент ₄ можна виразити через дисперсію; для нормального закону ₄ = 3 D² [ ].

Підстановка в формулу (3.28) дає:

,

звідки . (3.29)

Оскільки дисперсія D нам невідома, те замінивши її оцінкою , одержимо

. (3.30)

Знаючи СКВ , знаходимо довірчий інтервал для дисперсії, що характеризує точність оцінки дисперсії (як і для математичного сподівання, випадкової величини):

, (3.31)

де .

Надійність оцінки для дисперсії випадкової величини, яка характеризується довірчою імовірністю , знайдемо так само, як і імовірність влучення випадкової величини , розподіленої за нормальним законом, на ділянку довжиною 2_,, симетричну відносно центра розподілу цієї випадкової величини, використовуючи нормальну функцію розподілу Ф^*(х):

. (3.32)

Підставивши в цю формулу значення СКВ і вирішивши її щодо числа дослідів n, одержимо необхідне число дослідів n, при якому забезпечуються необхідні точність _ і надійність  оцінки дисперсії :

. (3.33)

Таким чином, алгоритм обробки дослідних даних буде мати наступну послідовність:

1. Визначити оцінки для математичного сподівання і дисперсії випадкової величини Х:

.

2. Визначити СКВ для оцінок математичного сподівання і дисперсії

.

3. Визначити половину ширини довірчого інтервалу для оцінок математичного сподівання і дисперсії:

.

4. Побудувати довірчі інтервали для оцінок математичного сподівання і дисперсії:

.

5. Визначити необхідне число дослідів n, при якому забезпечуються необхідні точність _ і надійність оцінок:

.

Якщо СКВ _х невідомо, то приймається . При невідомій дисперсії D_x береться оцінка: D_x =

Приклад 2. При визначенні початкової швидкості снаряда за допомогою польової балістичної станції отримані наступні значення швидкості в м/с:

904, 902, 897, 900, 898, 903, 896, 895, 903, 902.

Користуючись наближеним методом, визначити довірчий інтервал для дисперсії випадкової величини - початкової швидкості снаряда, що відповідає довірчої імовірності 0,95 і знайти, скільки необхідно зробити дослідів, щоб оцінка відрізнялася від дисперсії не більш, ніж на 5 м²/с².

Рішення. Знайдемо оцінки математичного сподівання і дисперсії:

тоді

Довірчий інтервал

Необхідне число дослідів

Висновок.

Математичний апарат розрахунку оцінок основних параметрів і числових характеристик ВВ широко використовується при обґрунтуванні вихідної інформації, отриманої на основі експериментальних даних і за результатами ведення попередніх бойових дій, необхідної в процесі виробітки й ухвалення рішення на ведення бойових дій.

Старший викладач

к.т.н., доцент В. К. ПЕТРОВ