3. Визначення довірчих інтервалів для математичного сподівання і дисперсії випадкових величин.

Загальні положення.

При рішенні великої кількості професійних задач потрібно не тільки знайти оцінки невідомих параметрів (характеристик) випадкової величини, але й встановити, з якою часткою впевненості можна чекати, що помилки у визначенні оцінок не перевершать задані межі.

Такого роду задачі особливо актуальні при малому числі спостережень, коли наближена заміна справжніх значень числових характеристик їхніми оцінками може привести до значних помилок.

У нашій практиці, як правило, аналіз результатів різного роду операцій, необхідний для вироблення рішень, заснований на вкрай обмеженій статистиці, тому сформульована задача є дуже актуальною.

Існує два методи визначення довірчих інтервалів для математичного сподівання і дисперсії випадкової величини:

а) точний;

б) наближений.

Точні методи визначення довірчих інтервалів виходять з того, що заздалегідь повинен бути відомий вид закону розподілу досліджуваємої випадкової величини Х (що в більшості випадків виявляється неможливим).

Для наближених методів визначення довірчих інтервалів знання закону розподілу випадкової величини Х не обов'язково, що цілком відповідає умовам рішення наших професійних задач.

Розглянемо тільки наближені методи визначення довірчих інтервалів.

В основі наближених методів лежить припущення про те, що оцінки для математичного сподівання і дисперсії випадкової величини Х являють собою випадкові величини з нормальним законом розподілу.

Припущення базується на центральній граничній теоремі теорії ймовірностей, відповідно до якої закон розподілу суми незалежних (або слабко залежних) рівномірно малих (тобто граючих приблизно однакову роль) випадкових величин при необмеженому збільшенні їхнього числа завжди прагне (сходиться) до нормального закону, незалежно від того, які закони розподілу мали окремі доданки.

Оцінки ж для математичного сподівання і дисперсії, як видно з формул (3.11) і (3.17), являють собою суму n випадкових величин, тому застосування центральної граничної теореми до даних оцінок (для математичного сподівання і дисперсії) правомочне, тому що основою для їхнього обчислення є суми n випадкових величин (формули 3.11 і 3.17).

Постановка задачі. Нехай зроблено n незалежних дослідів над випадковою величиною Х, в результаті яких отримані n її реалізацій. По цих реалізаціях отримані оцінки . Справжні значення математичного сподівання m і дисперсії D невідомі.

Потрібно визначити довірчий інтервал І_ =2_, що відповідає довірчої імовірності  для математичного сподівання m і дисперсії D.

Визначення довірчого інтервалу для математичного сподівання.

Будемо виходити з того, що оцінка , що є випадковою величиною, розподілена за нормальним законом і має наступні числові характеристики:

- математичне сподівання

;

- дисперсію

;

- середнє квадратичне відхилення (СКВ)

.

Задамося малим _  0 і знайдемо довірчий інтервал І_ = 2 _, що накриє невідомий нам параметр m_x (тобто математичне сподівання випадкової величини Х) з відповідною довірчою імовірністю  :

або

. (3.21)

Дана імовірність дорівнює імовірності влучення розподіленої за нормальним законом випадкової величини на ділянку 2_, симетричну відносно центра розподілу m_х випадкової величини . Для її обчислення скористаємося нормальною функцією розподілу:

(3.22)

Раніше вказувалося, що якщо випадкова величина Х розподілена за нормальним законом, то імовірність влучення її на симетричну відносно m_х ділянку можна визначити по загальній формулі імовірності влучення випадкової величини на ділянку (а, b):

(3.23)

Для нашого випадку

(3.24)

Імовірність (3.24) характеризує надійність одержання оцінки для математичного сподівання випадкової величини Х и являє собою довірчу імовірність .

Для визначення довірчого інтервалу задамося досить великою довірчою імовірністю   0,9 і знайдемо таку величину _ 0, для якої

В силу рівності (3.24)

,

звідки . (3.25)

Знаючи величину , можна по таблицях знайти, при якому значенні аргументу значення функції , тобто знайти й одержати половину ширини довірчого інтервалу

. (3.26)

Тут .

Таким чином, знайдений довірчий інтервал І_, що характеризує точність одержання оцінки математичного сподівання випадкової величини Х:

при відомій дисперсії D випадкової величини Х, тому що .

Якщо дисперсія D невідома, як передбачається в задачі, то середнє квадратичне відхилення для відшукання довірчого інтервалу беруть приблизно рівним , де - оцінка для дисперсії.

Величина _ представляє число середніх квадратичних відхилень , яке потрібно відкласти вправо і вліво від оцінки математичного сподівання , щоб одержати довірчий інтервал І_ (рис. 3.2).

Р ис. 3.2

Співвідношення (3.26) дозволяє знайти число дослідів n, при яких буде отримана оцінка математичного сподівання випадкової величини, що задовольняє необхідним точності _ і надійності .

Підставивши в формулу (3.26) замість його значення і вирішивши отримане рівняння відносно n , знайдемо

. (3.27)

Якщо середнє квадратичне відхилення (СКВ) х випадкової величини Х невідомо, то для визначення числа дослідів n можна взяти його наближене значення .

Приклад 1.При іспиті РЛС визначалися дальності виявлення нерухомої цілі, при цьому минулому отримані наступні результати в км:

76, 73, 73, 78, 75, 77, 72, 74, 77, 75. Користуючись наближеним методом, визначити довірчий інтервал для математичного сподівання випадкової величини - дальності виявлення цілі, що відповідає довірчої імовірності 0,9.

Визначити надійність оцінки - імовірність того, що знайдена оцінка буде відрізнятися від математичного сподівання не більш, ніж на 500 м і знайти, скільки потрібно зробити досвідів, щоб оцінка відрізнялася від математичного сподівання не більш, ніж на 500 м з імовірністю 0,95.

Рішення: Оцінка для математичного сподівання m_x дальності виявлення цілі Х

км.

Оцінка для дисперсії

км².

Середнє квадратичне відхилення оцінки математичного сподівання

км.

По таблицях нормальної (гауссовської) функції розподілу по імовірності знаходимо значення аргументу _ = 1,645.

Довірчий інтервал:

.

Надійність оцінки знайдемо як

.

Необхідне число дослідів

.