4. До заключної частини.

При підведенні підсумків заняття викладач звертає увагу слухачів на те, що ефективність розв’язання задач може бути досягнута при твердому засвоєнні змісту методів визначення оцінок показників ефективності операцій.

Далі викладач підводить підсумки роботи слухачів, оголошує оцінки з урахуванням їх активності та творчості при розв’язанні задачі.

Завдання на самопідготовку має бути спрямоване на закріплення знань та навичок, отриманих на цьому занятті.

В С Т У П

Для аналізу й оцінки ефективності тих або інших операцій ми використовували різноманітні показники ефективності, таки як імовірність події або явища, математичне сподівання, дисперсія і закон розподілу випадкових величин (ВВ), припускаючи, що ми маємо всю необхідну інформацію про неї.

Однак дуже часто ми не будемо мати інформацію про вид і параметри закону розподілу ВВ, його числові характеристики, а також імовірності тих або інших явищ, що досліджуємо.

Раніше, на першій лекції було показано, що імовірність як показник ефективності операцій може визначатися статистичним способом, заснованим на проведенні дослідів (випробувань), узагальненні їх результатів й одержанні чисельних значень показників ефективності.

Враховуючи те, що визначення параметрів закону розподілу, його числових характеристик й імовірності різноманітних подій здійснюються по єдиній методиці, об‘єднаємо всі перераховані категорії під єдиним найменуванням "параметр" ВВ й умовимося позначати його буквою а.

Сформулюємо тепер загальну задачу статистичного методу:

на основі результатів проведених дослідів і опрацювання цих результатів одержати наближене значення шуканого параметра ВВ і використовувати його як "істинне" значення цього параметра.

1. Визначення оцінок для математичного сподівання і дисперсії.

Нехай у випадкової величини Х невідоме математичне сподівання m_x і дисперсія D_x. Для їх визначення зроблено n незалежних дослідів і отримані значення випадкової величини Х: х₁, х₂, ..., х_n. На підставі цих даних необхідно знайти спроможні і незміщені оцінки m_x і D_x.

Доцільно за оцінку математичного сподівання прийняти середнє арифметичне значень, що спостерігаються:

(3.10)

Дана оцінка є незміщеною:

. (3.11)

Оцінка також є спроможною, тому що по теоремі Чебишева (закон великих чисел) при досить великій кількості незалежних дослідів середнє арифметичне значення випадкової величини сходиться за імовірністю до математичного сподівання:

. (3.12)

Дисперсія оцінки для математичного сподівання в n раз менше дисперсії випадкової величини Х і при збільшенні n зменшується:

. (3.13)

Перейдемо тепер до вибору оцінки для дисперсії D. На перший погляд найбільш природною оцінкою для дисперсії D_х є статистична дисперсія:

(3.14)

Виявляється, однак, що оцінка (3.14) є зміщеною оцінкою, тобто математичне сподівання статистичної дисперсії не дорівнює дисперсії, яка оцінюється: . Тому користуватися статистичною дисперсією як оцінкою недоцільно.

Можна показати, що

. (3.15)

Отже, якщо (3.14) прийняти як оцінку для дисперсії, то ми будемо систематично занижувати дисперсію. Тому, щоб оцінка для дисперсії D_x була незміщеною, необхідно статистичну дисперсію (3.14) помножити на зворотну величину .

При цьому одержимо “виправлену” дисперсію, яку й вибирають як оцінку для дисперсії:

. (3.16)

Оцінку називають також емпіричною дисперсією.

При невеликих значеннях n оцінки і D_х^* істотно відрізняються одна від одної, але при великих n (n  50) вони близькі, тому що (n – 1)  n.

Межа множника у (3.16) прагне до одиниці при n  , тому оцінка також буде спроможною.

Замітимо, що якщо у випадкової величини Х відоме математичне сподівання m_x, то в якості оцінки для дисперсії даної випадкової величини Х необхідно брати статистичну дисперсію

. (3.17)

У цьому випадку статистична дисперсія задовольняє умові незміщеністі і спроможності.