Числа Стирлинга
,
n=1,2,3…
- Производящая функция.
Полагают,
что
Эту
производящую функцию назвали производящей
многочлен степени n.
.
Раскроем
скобки в правой части
через
Что бы
формула была справедлива, полагают,
что: (
);
(
);
(
)
Коэффициент при , то есть числа и назвали числами Стирлинга первого рода.
Выразим различные степени переменной t через факториальные многочлены.
Любую степень числа t можно записать
( ); ( ); ( ) Полагают для удобства, симметрия чисел Стирлинга
Числа
по факториальным разложениям многочлена
назвали числами Стирлинга второго рода.
Рассмотрим
рекурсивное соотношение для чисел
Стирлинга из (1) следует, что
(4)
Воспользуемся формулой (2) и получим:
Коэффициент приравняем при степени k, получим:
то есть получим рекуррентное соотношение для чисел Стирлинга первого рода.
Коэффициент в правой части в выражении 6 получены из (5a)
Рекуррентные соотношения для чисел Стирлинга второго рода
(7)
(8)
Нам известно,
что
подставим
в (8) выражение, получим:
и
(9)
Для равенства необходимо, чтобы коэффициенты при факториальных многочленах совпадали по степени k, тогда:
(10)
или
+
(10’)
-1
Принцип включения-исключения
Этот метод (просеивания) известен еще с работ Бернулли. Решето Эратосфена – разновидность принципа включения-исключения.
Рассмотрим некоторое множество A1 как универсальное множество. Это множество обладает рядом свойств:
,
которое обладает свойством
(Дополнение не обладает свойством
,
а обладает свойством
)
(1)
Наряду с
рассмотрим подмножество
,
которое обладает свойством
Требуется
найти число подмножеств не обладающих
ни
ни
,
то есть
их объединения
Если взять все элементы множества A и удалить все не обладающие ни ни , то получим нужное нам свойство включения-исключения:
Найдем число элементов полученного множества (2) с помощью диаграмм Эйлера-Венна
=
-
Поставим (3) во (2):
=
Формулу (4) можно распространить на любое число аналогично. Свойств, то есть можно считать, что:
,
, причем, все элементы =
обладают свойством
, а
не обладают таким свойством, так как не
существует взаимо-однозначных соответствий
между элементами множества и подмножества,
то есть они близки или похожи.
Раздел математики Фунтеры и категории.
Для уравнения (4) характерно следующее выражение:
1)Множество
не обладает свойством
(
2)
обладает свойством
(
хотя бы одним
3) Здесь в (5) сумму ров. осущ. По всем сочетаниям без повторения, a представляет собой число элементов, обладающих по крайней мере 2-мя свойствами
4) По крайней мере 3-мя свойствами
5) Подмножество обладает всеми свойствами
Предположим для доказательства справедливости следующее соотношение:
(6)
Считаем,
что все элементы обладают
, и каждому члену выражения (6) добавим
,
тогда получим следующее выражение:
Требуется
получить или найти число элементов, не
обладающих ни одним из указанных свойств,
но обладает свойством
?
В выражение (8) подставим (6) и (7) и получим после объединения и преобразования выражение (5).
Таким образом в итоге, предположив справедливость выражения (5) согласно принципу математической индукции она справедлива.
Пример: часто ставится задача найти число элементов A, обладающих k-заданным свойством.
,
…
и не обладающее n-k
свойствами
,
…
Сначала
записываем формулу включения-исключения
и проверяем ее на справедливость.
Для этого каждому члену, полученного
подмножества добавляем пересечение с
многочленами
и получаем:
Пример:
подмножество A=
Свойства:
:
,
:
,
:
8
Найти
, т.е.
=
-
-(
)+
=
(0;6)
=6-2-
Формула (9) позволяет определить число элементов Aс заданными свойствами.
В некоторых случаях ставится задача найти число.
Это число обозначает W(k). Для этого введем сведущее обозначение :
Т.е. здесь записано число элементов, обладающих k-
,
…
Произведем суммирование по всем k-сочетаниям без повторений из заданных n-подмножеств, тогда:
W(k)
W(0)=
Исходя из (9) можно доказать, что W(k) есть число элементов, обладающих в точности k-свойствами и равными
Если мы хотим найти число элементов, не обладающих некоторыми свойствами, мы можем прибавить r=0, при этом получим
Пример:
