§28. Работа внешних сил при вращении тела вокруг неподвижной оси

Элементарная работа, совершаемая силой F за время dt, по определению (11.1) равна: ,

где dr – перемещение точки приложения силы;

r – радиус-вектор точки приложения силы при условии, что начало отсчета лежит на оси вращения Z;

 – угловая скорость вращения тела;

v – скорость точки приложения силы.

Осуществив в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, получим

= N_ dt = N_d. (28.1)

Знак работы силы зависит от знака проекции момента силы относительно оси вращения.

Работа А силы F при повороте тела на угол ₀ равна следующему интегралу.

, (28.2)

где N_z – момент силы F относительно оси Z.

Это выражение будет справедливо в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, поскольку только в этом случае момент силы будет однозначной функцией угла поворота .

Выражение (28.1) можно также получить, используя теорему о приращении кинетической энергии.

Действительно, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси Z равна: Е_кин = . Взяв производную по от обеих частей равенства, придем к соотношению:

dE_кин = I_z- d = I_z-d = N_zd =A, что совпадает с выражением (28.1).

В заключение, приведем таблицу основных формул механики поступательного и вращательного движений.

Таблица

Поступательное движение	Вращательное движение
r – положение точки (радиус-вектор).	- угловое положение (угол поворота)
–линейная скорость	угловая скорость
–ускорение	-угловое ускорение
m- инерция тела (масса)	Iz- момент инерции тела
p = mv– импульс	Mz=Iz – момент импульса
F -сила	N- момент силы
–второй закон Ньютона	–основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
–кинетическая энергия поступательного движения тела	- кинетическая энергия вращательного движения тела:
А = F dr – работа силы	- работа силы

Из сопоставления этих выражений видно, что во всех случаях в отличие от поступательного движения при вращательном движении роль инерции играет момент инерции, роль силы - момент силы, роль импульса – момент импульса, а линейные кинематические параметры заменяются на угловые.

Эти аналогии позволяют легко запомнить все основные соотношения механики вращающегося движения.

§29. Гироскопы

Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся вокруг оси симметрии с большой угловой скоростью.

Например, рассмотрим поведение волчка (рис.29.1).

Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то она описывает конус вокруг вертикальной оси с некоторойпрецессионной скоростью .

Т

Рис. 29.1. Гироскоп.

акое поведение волчка можно объяснить, используя уравнение моментов (22.2), с помощью которого мы вычислим угловую скорость прецессии. Поскольку вращение волчка происходит вокруг главной оси, направление момента импульса гироскопа совпадает с направлением угловой скорости . Таким образом, момент импульса волчка М, при малых потерях на трение, остается постоянным по модулю и вращается относительно вертикальной оси с угловой скоростью .

Угловая скорость вращения гироскопа  должна быть настолько большой, чтобы добавочный момент импульса волчка, приобретаемый за счет прецессии, был много меньше его собственного момента импульса М, т.е. М  I, где I – момент инерции гироскопа относительно оси вращения.

Напишем уравнение моментов (22.2) относительно точки касания волчка с поверхностью: , где– сумма моментов всех действующих на гироскоп сил.

Производная вращающегося с угловой скоростью , постоянного по модулю вектора M равна: . Таким образом,

. (29.1).

Это уравнение и будет определять угловую скорость прецессии  гироскопа.

В нашем случае относительно точки О отличным от нуля будет только момент силы тяжести, равный mglsin и направленный «от нас».

Нетрудно видеть, что в нашем случае направление совпадает вектором момента силы тяжестиN. Приравняем модули этих векторов и получим выражение для угловой скорости прецессии :

Isin =mglsin.

Отсюда следует: . (29.2)

Анализируя это выражение можно заметить, что величина угловой скорости прецессии не зависит от угла , и для данной конструкции волчка зависит только от угловой скорости .

Рассмотрим теперь эффект, связанный с вынужденным вращением оси гироскопа.

На рисунке 29.2 схематично изображен гироскоп, угловая скорость вращения которого и, соответственно, собственный момент импульса М направлен горизонтально. Допустим, что ось гироскопа по каким-либо внешним причинам начинает вращаться вокруг вертикальной оси со скоростью . Это приведет к тому, что собственный момент импульса гироскопа М тоже начинает вращаться со скоростью  в горизонтальной плоскости. Следовательно,

.

Для обеспечения такого изменения момента импульса требуется момент сил N, который создается в результате действия сил F, со стороны подшипников на ось гироскопа.

Эти силы называются гироскопическими, а их появление называют гироскопическим эффектом. Величину этих сил легко вычислить, приравнивая момент этих сил к :,где l – расстояние между подшипниками на оси вала гироскопа.

С подобным гироскопическим эффектом приходиться считаться при конструировании высокооборотных роторных двигателей самолетов, локомотивов, кораблей.

Если конструктивно гироскоп изготовлен так, что он может свободно вращаться вокруг всех трех пространственных осей (карданный подвес), то его поведение во вращающейся неинерциальной системе отсчета обладает следующими особенностями. Так как неинерциальная система отсчета, например, Земля, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью , то возникает гироскопический эффект. Но, так как гироскоп свободно вращается вокруг всех осей, то гироскопические силы не могут быть обеспечены. Это приводит к тому, что вектор момента импульса гироскопа стремиться совместиться с направлением оси вращения Земли, так как только в этом положении на гироскоп не будут действовать гироскопические силы. Эта особенность поведения гироскопа лежит в основе построения гирокомпасов.