§21. Момент импульса.

В §12 было указано, что импульс тела можно использовать как меру его поступательного движения, и показано, что импульс не может служить мерой вращательного движения. Мерой вращательного движения тела может служить момент импульса тела, который складывается из моментов импульсов материальных точек.

Моментом импульса M_O материальной точки m относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку месторасположения точки m, на ее импульс mv.

. (21.1)

Векторную сумму моментов импульса всех материальных точек, составляющих тело, называют моментом импульса системы материальных точек.

. (21.2)

Момент импульса материальных точек, также как и момент сил, тоже зависит от выбора точки О, относительно которой рассматривается момент импульса.

Пусть М_О – момент импульса системы относительно точки О в данной системе отсчета. Тогда момент импульса той же системы материальных точек относительно другой точки О¢ в той же системе отсчета (v_i = v¢_i) будет равен:

. (21.3)

В этом выражении:

r_i – положение точки m_i при начале отсчета в точке О.

–положение точки m_i при начале отсчета в точке О¢.

R – вектор, проведенный из точки O в точку O¢.

Р_сист – импульс системы материальных точек.

Из выражения (21.3) видно, что если импульс системы материальных точек в данной системе отсчета равен нулю (Р_сист = 0), то суммарный момент импульса не зависит от того, относительно какой точки мы вычисляем эти моменты (М_О = М_О¢).

Эта ситуация реализуется в Ц-системе.

И поскольку в Ц-системе момент импульса не зависит от того, относительно какой точки мы вычисляем этот момент , то этот момент называютсобственным моментом импульса системы материальных точек.

Используя преобразования Галилея, можно получить соотношение между моментом импульса в данной системе отсчета М_О и собственным моментом импульса .

(21.4)

В этом выражении:

r_i = +R_С – положение точки m_i в данной системе отсчета с началом в точке О;

–положение точки m_i в Ц-системе с началом в точке С.

R_С – положение центра масс в данной системе отсчета;

v_i = +V_C – скорость i-ой точки в данной системе отсчета;

–скорость i-ой точки в Ц-системе;

V_C – скорость центра масс системы материальных точек в данной системе отсчета;

–положение центра масс в Ц-системе, равное нулю;

Р_сист =– импульс системы материальных точек в данной системе отсчета.

Таким образом, момент импульса системы материальных точек, в частности твердого тела, М_О складывается из собственного момента импульса и момента импульса R_C´P_сист, обусловленного движением системы частиц как целого.

§22. Уравнение моментов.

Целесообразность введения понятий момента силы и момента импульса связана еще и с тем, что эти величины связаны между собой соотношением, которое называется уравнением моментов.

Продифференцируем момент импульса системы (21.2) по времени:

. (22.1)

Первое слагаемое в этом выражении равно нулю, т.к. и, как векторное произведение сонаправленных векторов.

Величина равна по второму закону Ньютона сумме всех действующих на материальную точкуm_i сил, которые мы разделим на внешние и внутренние.

,

где – внутренняя сила, действующая на точкуm_i со стороны точки m_k.

Таким образом, .

Векторная сумма моментов всех внутренних сил равна нулю, так как силыиобразуют пару сил, плечо которой равно нулю.

Итак, уравнение (22.1) примет вид:

. (22.2)

Таким образом, скорость изменения момента импульса системы материальных точек относительно точки О равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой же точки О.

Уравнение (22.2) называется уравнением моментов.

Твердое тело мы рассматриваем как систему материальных точек, сохраняющей свою конфигурацию, поэтому уравнение (22.2) определяет вращательное движение твердого тела вокруг точки О по известным моментам сил.

Уравнение (22.2) справедливо во всех инерциальных системах отсчета. В неинерциальных системах отсчета помимо моментов сил взаимодействия необходимо учитывать и моменты сил инерции. Отметим, что в Ц-системе необходимо учитывать только моменты центробежных сил и сил Кариолиса. Моменты поступательных сил инерции в Ц-системе равны всегда нулю (см. §20).