§27. Кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия Е_кин твердого тела складывается из кинетических энергий элементарных масс, составляющих тело.

, (27.1)

где v_i- скорость элементарной массы .

Скорость каждой i-ой точки слагается из скорости v_п поступательного движения тела и линейной скорости v_вр= r_i за счет его вращательного движения. Таким образом,

v_i= v_п + v_вр = v_п + r_i , (27.2)

где  – угловая скорость вращательного движения твердого тела;

r_i – радиус-вектор, проведенный из полюса в точку, где находится масса m_i.

Возведя в квадрат выражение (27.2), подставим значение v_i² в (27.1). Напомним, что A² = A². Получим, что в общем случае кинетическая энергия Е_кин твердого тела равна:

. (27.3)

Для двух частных случаев это выражение существенно упрощается.

Первый случай.

Выберем за полюс точку О, жестко связанную с телом, и скорость которой равна нулю. Это означает, что v_п = 0, а ось вращения Z проходит через точку О.

Тогда кинетическую энергию тела будет представлять только второе слагаемое – кинетическая энергия тела при чистом вращении. Эта энергия равна.

Е_кин = . (27.4)

В этом выражении R_i – расстояние от массы m_i до оси вращения Z. Ось вращения Z проходит через нашу выбранную точку О, и сумма равна моменту инерции телаI_z относительно оси Z.

Второй случай.

Примем за поступательное движение тела движение центра инерции со скоростью v_c.

Пусть вращение тела происходит таким образом, что ось вращения Z, проходящая через центр инерции, движется поступательно, а начало отсчета совпадает с центром инерции. Тогда момент инерции тела относительно оси Z будет постоянным.

В этом случае первое слагаемое в выражении (27.3):

–кинетическая энергия тела за счет поступательного движения. В этом выражении: – масса тела,v_c – модуль скорости центра инерции.

Второе слагаемое в выражении (27.3):

кинетическая энергия тела за счет вращательного движения вокруг оси Z. В этом выражении I_z – момент инерции тела относительно оси Z, проходящей через центр инерции и являющейся осью вращения.

Рассмотрим третье слагаемое в выражении (27.3).

Сумма , иногда называемая«смешанной» кинетической энергией, в нашем случае равна нулю по следующим причинам.

Поскольку являются для всех точек тела одинаковыми, эти величины можно вынести за знак суммы.

Сумма , гдеR_C – радиус-вектор центра инерции. Так как центр инерции совпадает с началом отсчета, тои «смешанная» кинетическая энергия также станет равной нулю.

Следовательно, при указанных условиях, и в частности, плоском движении кинетическую энергию тела Е_кин можно вычислить по следующему выражению.

, где (27.5)

M– масса тела;

v_c – скорость центра инерции;

 – угловая скорость вращения тела;

I_z – момент инерции тела относительно оси Z, проходящей через центр инерции тела и совпадающей по направлению с вектором .

Этим выражением пользуются, когда движение тела представляют как сумму поступательного и вращательного движений. При этом за полюс мы не можем выбирать произвольную точку. Полюсом в данном случае может являться только центр масс.