§25. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Пусть тело может вращаться только вокруг неподвижной оси Z. (рис. 25.1). Ось Z может и не совпадать с главной осью тела.

Наша задача – найти связь между суммарным моментом всех сил, приложенных к телу, относительно оси Z и моментом импульса тела относительно этой же оси.

Найдем выражение для момента импульса относительно осиZ тела, вращающегося вокруг оси Z с угловой скоростью (рис. 25.1).

Выберем произвольную точку О на оси Z.

Так как , то,

где M_O – момент импульса тела относительно некоторой точки О на оси Z;

M_iО – момент импульса i-ой материальной точки, из которых состоит тело, относительно той же точки О на оси Z.

M_z и M_iz – проекции этих моментов импульсов на ось Z, т.е. моменты этих импульсов относительно оси Z.

Вычислим момент импульса M_iz i-ой материальной точки относительно оси Z.

Из рис. 25.1 видно, что проекция момента импульса M_iО i-ой материальной точки на ось Z равна:

Рис.25.1 К определению момента импульса

тела относительно оси Z.

m_i – масса i-ой материальной точки;

v_i – скорость i-ой материальной точки;

R_i – расстояние i-ой материальной точки до оси Z;

w – угловая скорость вращения тела.

М_О – момент импульса i-ой материальной точки

относительно точки О.

M_iz = ÷M_iОêsina = m_iv_i = m_i R_i²w.

Таким образом, M_iz = .

Обратите внимание, что момент импульса материальной точки относительно оси Z не зависит от выбора точки О на этой оси.

Момент импульса тела относительно оси Z будет равен сумме:

. (25.1)

Сумму произведений элементарных массm_i, составляющих тело, на квадрат их расстояний R_i² до оси вращения Z называют моментом инерции I_z тела относительно оси вращения Z.

. (25.2)

В случае однородных тел правильной геометрической формы их моменты инерции легко рассчитывается (см. §26).

Окончательно имеем:

. (25.3)

Подставив это выражение для момента импульса тела в уравнение моментов (20.8) мы получим основное уравнение динамики для вращательного движения тела вокруг неподвижной оси Z:

. (25.4)

Именно в этом виде основной закон динамики для вращательного движения тела наиболее часто используют для расчетов.

По внешнему виду оно похоже на второй закон Ньютона для поступательного движения тела: роль сил F при вращательном движении играют моменты сил N_z, роль ускорения w – угловое ускорение b. Мерой инерции тела при вращательном движении вокруг оси служит его момент инерции относительно оси I_z .

Сравните:

Поступательное движение. ..

Вращательное движение

вокруг оси. .

§26. Момент инерции твердого тела относительно оси.

Теорема Штейнера-Гюйгенса

Если твердое тело мысленно разбить на материальные точки, то, по определению (25.2) сумму называютмоментом инерции твердого тела относительно оси Z. В этом выражении m_i -элементарные массы, составляющие тело, а R_i- расстояния от этих масс до оси вращения.

Выразим массу m_i через плотность вещества r и объем V_i, занимаемый этой массой: m_i = rV_i. Выражение для момента инерции будет тем точнее, чем меньше будут массы m_i и, соответственно, меньший объем V_i будут они занимать. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

. (26.1)

Значок V под знаком интеграла означает, что интегрирование ведется по всему объему V тела. Выражение (26.1) служит основным расчетным соотношением для вычисления моментов инерции тел.

Вычислим момент инерции цилиндра массой т, радиуса R и высотой h, относительно оси Z, проходящей через его ось (см. рис. 26.1).

Мысленно разобьем цилиндр на тонкие цилиндрические слои толщинойdr и высотою h, равной высоте цилиндра. Тогда объем dV такого слоя будет равен 2prh×dr. Все участки цилиндрического слоя отстоят от оси цилиндра на одинаковое расстояние r. Момент инерции такого слоя, очевидно, равен r×dV×r². Тогда момент инерции всего цилиндра I_z будет равен сумме моментов инерции всех слоев, его составляющих:

Рис. 26.1. К вычислению момента

инерции цилиндра (диска).

h – высота цилиндра;

R – радиус цилиндра;

R – радиус цилиндрического слоя

объемом dV = 2prh×dr;

dr – толщина цилиндрического слоя.

.

Наконец, введя массу цилиндра m, равную плотности материала r цилиндра на его объем , получим:

. (26.2)

Из (26.2) следует, что момент инерции цилиндра не зависит от его высоты, и, следовательно, соотношение (26.2) применимо для вычисления моментов инерции и тонких дисков.

Вычисление моментов инерции относительно оси можно упростить, применив следующий прием.

Сложим все уравнения для главных моментов инерции (24.4). Получим:

I_x +I_y +I_z = 2åm_i() = 2åm_i, (26.3 )

где r_i – расстояние массы т_i до начала отсчета.

В случае осевой и точечной симметрий сумма åm_iлегко вычисляется. Если осьZ является осью симметрии, то главные моменты инерции I_x и I_y равны друг другу, а в случае точечной симметрии I_x= I_y= I_z. Эти обстоятельства и позволяют упростить вычисления моментов инерции.

Например, вычислим с помощью (26.3) момент инерции сферической оболочки, радиуса R и массы М.

В силу симметрии все три момента инерции, относительно осей X,Y и Z, проходящих через центр инерции, равны. Следовательно:3J_z = 2MR² и

I_z =2/3MR². (26.4)

Вычислим с помощью (26.3) момент инерции тонкого кольца, массы М и радиуса R, относительно оси Y, совпадающей с диаметром.

В силу симметрии имеем: I_x=I_y; I_z=MR². Тогда,

I_y=MR²/2. (26.5)

С

Рис. 26.2. Вычисление моме-

нта инерции тонкого кольца.

оотношение (26.3) можно использовать и при вычислении моментов инерциитонких пластинок. В этом случае, выбрав начало координат внутри пластинки, для всех т_i координата z_i @ 0. Тогда, åm_i@ åm_i() =I_z.

Следовательно, из (26.3) следует: I_x +I_y +I_z= 2åm_i= 2I_z или

I_x +I_y = I_z . (26.6)

Например, вычислим момент инерции I_y тонкого диска относительно оси Y, совпадающей с диаметром диска. В силу симметрии I_x = I_y, а I_z = MR²/2. Следовательно: 2I_y= MR²/2, и I_y= MR²/4.

Аналогичным образом можно вычислить моменты инерции всех геометрически правильных тел относительно осей симметрии. Приведем некоторые практически важные результаты для использования при решении задач.

1. Момент инерции диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания.

. (26.7)

M – масса диска; R – радиус диска.

2. Момент инерции тонкого диска относительно оси, совпадающей с его диаметром.

. (26.8)

М – масса диска; R – радиус диска.

3. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара.

. (26.9)

M – масса шара; R – радиус шара.

4. Момент инерции параллелепипеда массой М относительно оси Z, проходящей через его центр перпендикулярно одной из его граней.

. (26.10)

Приведенным способом легко рассчитываются моменты инерции относительно осей, проходящих через центр инерции и являющихся осью симметрии.

А как рассчитать момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр инерции тела? На помощь приходит теорема Штейнера - Гюйгенса: «Момент инерции тела I_OO относительно произвольной оси ОО равен моменту инерции тела I_z относительно оси Z, проходящей через центр инерции тела и параллельно данной, плюс произведение массы тела т на квадрат расстояния b между осями (рис. 21.2).

. (26.11)

Рис.26.2. К теореме Штейнера - Гюйгенса.

Ось Z проходит через центр инерции тела

параллельно оси ОО.

М – масса тела; b – расстояние между осями.

Докажем эту теорему.

Поместим начало координат в центр масс, а ось Z направим параллельно оси ОО. Разобьем все тело на элементарные массы m_i. Обозначим расстояние от этих масс до оси Z через r_iz, а до оси ОО через r_io. Проведем векторы, перпендикулярные осям Z и ОО: r_iz– вектор, проведенный от оси Z до массы m_i, r_io – вектор, проведенный от оси ОО до массы m_i, b – вектор, проведенный от оси ОО до оси Z. На рис. 26.3 изображен вид сверху на рисунок 26.2.

Из рис. 21.3. видно, чтоr_io = r_iz + b. Тогда момент инерции тела I_OO относительно оси ОО равен:

.

П

Рис.26.3. К доказательству

теоремы Штейнера - Гюйгенса.

ервая сумма в этом выражении представляет собой момент инерции телаI_z относительно оси Z, а вторая равна Mb², т.к. , аравна массе телаM. Вычислим сумму. Суммуможно представить в виде:, гдеR_C – составляющая радиус-вектора центра масс, лежащая в плоскости XY. Поскольку начало координат помещено в центр инерции, R_C равно нулю. Отсюда следует, что .

Таким образом, момент инерции тела I_OO относительно произвольной оси ОО равен I_z +Mb², что и требовалось доказать.