6. Отношения на множествах. Бинарные отношения и их свойства (рефлексивность, антирефлексивность, симетричность, антисимметричность, транзитивность).

Бинарным отношением называется любое множество упорядоченных пар.

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как

Рефлексивность:

Антирефлексивность (иррефлексивность):

Симметричность:

Антисимметричность:

Транзитивность:

Полнота:

Асимметричность:

Виды отношений

Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.

Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.

Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка

7. Способы задания отношений.

1) Для дискретного конечного множества достаточно перечисление всех отношений во всех парах.

2) Матричный (матрица размером NxN, где N – мощность множества). Например, элемент матрицы a_ij={0 - если x R y, 1 – если x неR y}.

3) Графический (с помощью графа). Отношения представлены в виде дуг. Например:

Абсолютно наилучшая альтернатива та, которая находится в отношении R со всеми остальными.

4) С помощью сечений (верхнего и нижнего).

Верхнее сечение – перечень всех альтернатив, находящихся с данной в отношении R, то есть лучше . Нижнее сечение – перечень всех альтернатив, которые хуже. Преимущество данного метода состоит в том, что функции могут быть аналитически заданы. Следовательно данный способ можно использовать для непрерывных множеств альтернатив.

8. Операции над отношениями. Композиция

Так как отношения на Х задаются подмножествами rНXґY, для них определимы те же операции, что и над множествами:

1. Объединение r1Иr2: r1Иr2={(х, у)| (х, у)Оr1 или (х, у)Оr2}.

2. Пересечение r1Зr2: r1Зr2={(х, у)| (х, у)Оr1 и (х, у)Оr2}.

3. Разность r1\r2: r1\r2={(х, у)| (х, у)Оr1 и (х, у)П r2}.

4. Дополнение  :  .

5. Обратное отношение r ^-1: х r ^-1 у тогда и только тогда, когда уrх, r ^-1={(x, y)| (y, x)Оr}. композицией, или разложением, натурального числа называется его представление в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых. Слагаемые, входящие в композицию, называют частями, а их количество —длиной композиции. В отличие от композиции, разбиение числа не учитывает порядок следования частей. Поэтому число разбиений числа никогда не превосходит числа композиций. При фиксированной длине композиций в них иногда также допускают нулевые части.

9. Свойства отношений:

1) рефлексивность;

2)симметричность;

3)транзитивность.

4)связанность.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.

Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y, следует, что  и элемент y находится в отношении R  с элементом х:   xRy yRx .

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRz xRz.

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х.  С помощью символов это определение можно записать так:  x y   xRy или yRx.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.