1. Множество — это набор, совокупность каких-либо вполне различаемых объектов, называемых его элементами, обладающими общими для всех их и только их свойствами, и рассматриваемых как единое целое. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников. Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,

z − множество целых чисел;

q− множество рациональных чисел;

i − множество иррациональных чисел;

r − множество действительных чисел;

c − множество комплексных чисел.

Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: а А.

Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Ø. Если A есть пустое множество, то пишут: А= Ø Если любой элемент множества A является элементом другого множества B, то говорят, что A есть подмножество множества B, и пишут: A B. Например, множество всех натуральных чисел является подмножеством всех действительных чисел . Из определения непосредственно следует, что A A, то есть всякое множество является подмножеством самого себя. Если A B, а B A, то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.

2. Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение B⊆A или A⊇B). Каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B. (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения).

3. Дополнительные свойства операций над множествами. Вывод из основных.

Подмножество в теории множеств — это понятие части множества.

Множество A называется подмножеством множества B, если все элементы A являются также элементами B. Любое множество является своим подмножеством: Если при этом , то A называется собственным подмножеством B. По определению полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества: .

Из определения прямо следует, что пустое множество обязано быть подмножеством любого множества. Также, очевидно, любое множество является своим подмножеством:

. Если , и , , то A называется собственным или нетривиальным подмножеством.

Пусть A — множество. Множество всех подмножеств множества A называется множеством – степенью или “булеаном” A (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается или 2^A. Ясно, что и . Справедливо следующее утверждение: Число подмножеств конечного множества, состоящего из n

элементов равно 2^n

4. Основные законы алгебры множеств

1. Коммутативность объединения	1’. Коммутативность пересечения
2. Ассоциативность объединения	2’. Ассоциативность пересечения
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения	3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами	4’. Законы действия с пустым и универсальным множествами
5. Закон идемпотентности объединения	5’. Закон идемпотентности пересечения
6. Закон де Моргана	6’. Закон де  Моргана
7. Закон поглощения	7’. Закон поглощения
8. Закон склеивания	8’. Закон склеивания
9. Закон Порецкого	9’. Закон Порецкого
10. Закон двойного дополнения

5. Сечение множеств

Два множества   называются сечением множества действительных чисел  , если: Объединение   с   составляет всё множество действительных чисел  ,  . Каждое из множеств  не является пустым . Каждое число множества    меньше любого числа множества   ,  Сечение образованное множествами   и   обозначается  , а   и   называются верхним и нижним классом сечения Свойство 1 означает, что каждое действительное число принадлежит по крайней мере одному из классов. Из свойства 3 вытекает, что множество   и   пересекаются. В теории множеств, декартово произведение двух множеств X и Y — это множество всех возможных случайных пар, в котором первый компонент принадлежит множеству X, в второй-множеству Y. Это понятие названо в честь великого французкого математика Рене Декарта.

Декартово произведение двух множеств X и Y обозначают как X×Y:

Множество любого типа представляется в памяти ЭВМ в виде последователь&

ности нулей и единиц в соседних битах. Значение бита является индикатором

наличия того или иного элемента в составе множества (1 — элемент есть, 0 — элемента нет).