Правильні многогранники

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многогранниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника збігається одне й те ж саме число ребер. Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр. 1. У правильного тетраедра грані — правильні трикутники; у кожній вершині збігається по три ребра. Тетраедр — трикутна піраміда, усі ребра якої рівні. 2. У куба всі грані — квадрати; у кожній вершині збігається по три ребра. Куб — прямокутний паралелепіпед з однаковими ребрами. 3. В октаедра грані — правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по чотири ребра. 4. У додекаедра грані — правильні п’ятикутники. У кожній його вершині збігається по три ребра. 5. В ікосаедра грані — правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по п’ять ребер. На рисунках наведено приклади правильних многогранників із назвами.

Многогранники

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує, — ребром двогранного кута. Півплощини називаються гранями двогранного кута. Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох півпрямих. Кут, утворений такими півпрямими, називається лінійним кутом двогранного кута (див. рисунок). За міру двогранного кута приймається міра його лінійного кута. Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута. Побудувати лінійний кут двогранного кута можна двома способами. 1. Обрати точку на ребрі кута й провести через цю точку перпендикуляри до ребра, що лежать у гранях кута (див. рисунок нижче зліва). Кут між цими перпендикулярами — лінійний кут даного двогранного ­кута. 2. Обрати точку на грані двогранного кута й опустити з неї перпендикуляри на ребро кута та на іншу грань двогранного кута (див. рисунок нижче справа). З’єднати основи цих перпендикулярів. Кут між цим відрізком і перпендикуляром, проведеним до ребра двогранного кута, буде лінійним кутом даного двогранного кута.

Тригранний і многогранний кути

Нехай промені a, b, c виходять з однієї точки й не лежать в одній площині. Тригранним кутом називається фігура, яка складається з трьох плоских кутів , , (див. рисунок). Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони — ребрами. Спільна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута. Аналогічно дають означення многогранного кута. Теорема 1. У тригранному куті кожний плоский кут менший за суму двох інших. Теорема 2. Сума плоских кутів тригранного кута менша за .

Многогранники

Многогранник — це таке тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні. Спільна частина такої площини й поверхні опуклого многокутника називається гранню. На рисунку нижче зліва зображений не­опук­лий многогранник; на рисунку справа — опуклий. Грані опуклого многогранника є плоскими опуклими многокутниками. Сто­рони граней називаються ребрами мно­гогранника, а вершини граней — вершинами мно­гогран­ника.

Призма

Призмою називається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, що лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників (див. рисунок). Многокутники називаються основами призми, а відрізки, які сполучають відповідні вершини, — бічними ребрами призми. Позначення: . Бічна поверхня призми складається з паралелограмів. Кожний із них має дві сторони, які є відповідними сторонами основи, а дві інші — суміжними бічними ребрами. Основи призми рівні й лежать у паралельних площинах. Бічні ребра призми паралельні та рівні. Висотою призми називається відстань між площинами її основ. Відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не належать одній грані, називається діагоналлю призми. (На рисунку — висота, і — діа­гоналі.) Діагональні перерізи — це перерізи призми площинами, що проходять через два бічних ребра, які не належать одній грані (див. рисунки). Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. У протилежному випадку призма називається похилою. Бічні грані прямої призми — прямокутники, висота прямої призми дорівнює бічному ребру, діагональні перерізи є прямокут­никами. Бічною поверхнею призми називається сума площ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні й площ основ. Теорема 1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи та висоти, тобто довжини бічного ребра. Перпендикулярним перерізом призми будемо називати переріз площиною, перпендикулярною до бічного ребра призми (а це означає, що ця площина є перпендикулярною до всіх бічних ребер призми). Теорема 2. Бічна поверхня похилої призми дорівнює добутку довжини бічного ребра і периметра перпендикулярного перерізу. На рисунку — перпендикулярний переріз. Sб = H ⋅ Pосн; Sп = Sб + 2Sосн. Sб = l ⋅ Pпер; Sп = Sб + 2Sосн. Очевидно, що ця теорема є правильною й у випадку прямої призми, бо тоді перпендикулярний переріз буде перерізом площиною, паралельною площинам основ призми. Зверніть увагу: якщо деякий многокутник є перпендикулярним перерізом призми, то його внутрішні кути є лінійними кутами двогранних кутів між відповідними бічними гранями. У випадку прямої призми лінійними кутами двогранних кутів між бічними гранями є безпосередньо кути основи. Приклад

На рисунку — пряма ­призма. — лінійний кут двогранного кута між гранями і . Призма називається правильною, якщо: • в основі її лежить правильний много­кутник; • призма є прямою.