12. Пиано постулаттары және математикалық индукция принципі.

натурал сандар жиыны.

(А)

(В) Әрбір натурал санымен байланысқан төркіні болатын жалғыз ғана сан табылады.

(С) 1-дің төркіні жоқ.

N –нің төркіні жоқ.

(D) Егер

Егер төркіндері әртүрлі болса, онда олардың сандары да әртүрлі болады.

(Е) Төркіні жоқ санды немесе бүкіл төркінді қамтитын натурал сандар.

Натурал сандар жиынының анықтамасынан салдар ретінде математикалық дәлелдеулердің маңызды әдістерінің бірі – математикалық индукция әдісі шығады.

Әрбір натурал үшін тұжырымы айтылған болсын. Әрине,кейбір –дер үшін орындалып, кейбір -дер үшін орындалмауы да мүмкін. Бірақ, егер:

1. орындалса,

2. Әрбір натурал үшін орындалғанда де орындалса, онда тұжырымы кез келген натурал үшін орындалады.

Расында да, орындалатын сандарынан құрылған жиынды А әрпімен белгілесек, онда және шарттары орындалады. Сондықтан, натурал сандардың анықтамасы бойынша А натурал сандар жиынының дәл өзі болады, яғни тұжырымы кез-келген үшін орындалады.

Барлық натурал сандар туралы теореманы дәлелдеген сайын, яғни тұжырымы әрбір натурал саны үшін орындалатынын дәлелдеу үшін, әрқашан да келесі, математикалық индукция әдісі деп аталатын әдісті қолдану керек : 1) мен 2) шарттарының орындалатынын тексеру керек.

(а) бойынша, және b бойынша, M n болғанда. M=N.

13.Ішкі жиын, жиындар теңдігі. Жиындарға алу, бірігу және қиылысу амалдары. Толықтауыш.

Өзара бөлек заттарды біріктіріп , бүтін бір заттай қарастыруға болады . Сол жаңа зат жиын деп, ал оның құрамындағы заттардың әрқайсысы жиынның элементі деп аталады.

Егер Р әрпімен белгілі бір қасиетті қабылдайтын заттардың бәрінен құрылған жиын

(1) символымен белгіленеді.

Егер Р қасиетін бірде-бір зат қабылдамаса, онда (1) жиынын бос жиын дейді де, символымен белгілейді.

Жиындардың теңдігі. Кірістіру символы бойынша жиындардың теңдігі анықталады. Егер Е және F жиындары үшін және кірістірулері бірдей орындалса, яғни бірінің кез-келген элементі екіншісінде жатса, онда Е және F жиындары тең дейді де, E=F символымен белгілейді.

Жиындардың қиылысуы. Е және F жиындарының қиылысуы деп жиынын, яғни Е мен F жиындарында бірдей жататын x элементтерінен құрылған жиын аталады. Егер ондай элементтер болмаса, онда

Жиындарды бірігуі. Е және F жиындардың біріктіруі деп жиынын, яғни Е және F жиындарының кемінде біреуінде жатқан элементтерінен құрылған жиынды атайды (бұған Е және F–те қатар жататын элементтер де кіреді)

Жиындардың айырымы. Е және F жиындарының айырымы деп жиыны, яғни Е жиынында жатып, F жиынында жатпайтын x элементтерінің жиыны аталады. Әрине, болған жағдайда жиын болады.

14.Маңай, ішкі нүкте, жиынның іші. Ашық жиын.

ашық интервал

1. Жартылай шексіз интервалдар

2. Шексіз интервал

Маңай: - нүктесінің маңайы. нүктесі өзінің қандай да бір маңайымен бірге S-ке тиісті болса, онда S жиынының ішкі нүктесі.

R ішкі жиынының барлық нүктелері, ішкі нүктелері болса, онда S ашық жиын деп аталады.

S R-дің ішкі жиыны, барлық нүктелері ішкі нүктелер болса S ашық жиын деп аталады.

Кез-келген х жатады S нүктесі үшін табылады ἐ>0; (х-ἐ,х+ἐ)ішкі жиыны S-тің

a<y<x<z<b

ἐ=min{x-y,z-x}

ἐ=min{x-a,b-x}

Теорема,Ашық жиындардың бірігуі ашық жиын болады.Тұйық жиындардың қиылысуы тұйық деп аталад G-ашық жиындардың жиыны

G={g ішкі нүктесі ;g-ашық}

S=бірігуі g g жатады G

Кез-келген х жатады S табылады g жатады G;табылады ἐ>0;(x-ἐ,x+ἐ)

x S-тің ішкі нүктесі ;S-ашық жиын