42. Лопиталь ережесі. Анықталмағандықтар.

Теорема. және функциялары ашық аралығында дифференциалдансын және осы аралықта функциясы болсын. Сонымен бірге

Дәлелдеуі. Негізгі мән туралы жалпыланған теоремадан

Негізгі мән туралы теоремадан

Теорема дәлелденді.

Анықталмағандықтар.

1. Егер түріндегі анықталмағандық болатын шегінің зерттеуі сәйкес

түріндегі анықталмағандық болатын

Шектерін зерттеуге келтіріледі. Мысалы,

2. Егер болса, онда түріндегі анықталмағандық болатын шегінің зерттеуі түріндегі анықталмағандық болатын

шегін зерттеуге келтіріледі.

3. түріндегі анықталмағандықтар түрлендіруі арқылы түріндегі анықталмағандыққа келтіріледі.

43) Тейлор теоремасы

Егер y=f(x) функциясы (a,b) интервалында анықталған болып, € (a,b) нүктесінде n-ге дейінгі (n—ді қоса) барлық ретті туындылары бар болса, онда мына теңдік орындалады:

(1)

мұндағы 0( ) функциясы x→ жағдайда мен салыстырғанда , жоғары ретті ақырсыз кіші шама.(1) формула f функциясы үшін жазылған нүктесі маңайындағы Тейлор формуласы деп аталады.

44. Тейлор теоремасын локальді экстремумға қолдану. (негізі: Тейлордың локальдық формуласын экстремумға қолдану)

Теорема 2.5.3. нүктесінде n-ші ретті туындыға ие болып, шарттары орындалсын.

1. Егер n тақ болса, онда локальді экстремум нүктесі болмайды.

2. Егер n жұп болса, онда болғанда қатаң локальді минимум нүктесі, ал болғанда локальді қатаң максимум нүктесі болады.

Дәлелдеу. Тейлордың локальді формуласы:

Осы формулаға сәйкес егер болса

болады ( ).

Бірақ делінген еді. Олай болса,

Сонымен қатар

Ендеше, нүктесінің маңайында мен таңбалас болады, басқаша айтқанда: егер болса, маңайындағы барлық үшін:

яғни,

Демек, - функция -тің максимумы. Егер болса, маңайындағы барлық үшін:

яғни,

Демек, шамасы функциясының минимумы.

46.Дифференциалданатын функцияның үзіліссіздігі. Дифференциалданбайтын фукцияның үзіліссіздігі.

Егер сегментінде анықталған функциясының ол сегменттің белгілі бір нүктесінде туындысы болса, ол функция сол нүктеде үзіліссіз болады.

Теорема. функциясы нүктесінде үзіліссіз болу үшін функцияның сол нүктеде ақырлы туындысы болуы жеткілікті.

Дәлелдеу. функциясының нүктесінде ақырлы туындысы бар деп есептейік, яғни (1)

ақырлы шама делік. Мұндағы аргумент -тің кез-келген өсіишесі ж/е ол өсімше

шартын қанағаттандырады, ал - берілген функцияның аргумент өсімшесіне сәйкес өсімшесі.

Функция туындысының анықтамасына сәйкес (1) теңдіктен келесі (2)теңдік шығады.

Мұндағы -да шама және ол шама барлық үшін анықталған.

(2) формуладан:

формуласы шығады ( -да деп ұйғарамыз.)

-да , яғни берілген функциясы нүктесінде үзіліссіз.

Теорема дәлелденді.

48. Монотонды функцияның үзіліссіз болуы туралы критерий.

Теорема. Егер I аралығында анықталған монотонды функциясының мәндер жиыны байланысты жиын болса, онда функциясы үзіліссіз болады. (Егер нақты сандар жиынының кез келген екі элементінің арасындағы барлық сандар да сол жиында жатса, яғни арты орындалса, онда байланысты жиын д.а.)

Дәлелдеуі. Кері жорып, үзілісті делік. Анықтық үшін функциясы кемімейтін болып, нүктесінде оң жақты үзілісті болсын, яғни . Онда саны -тің I аралығындағы мәні бола алмайды, яғни барлық үшін Расында да, біріншіден, барлық , үшін екіншіден, монотонды функцияның шегі туралы теорема бойынша әрбір , үшін

.

Сонымен, саны функциясының екі мәнінің арасында жатып (әрбір ), өзі -тің мәні болмайды. Бұл функциясының мәндерінің жиыны байланысты екеніне қайшы келеді, демек, -тің бірде-бір үзіліс нүктесі жоқ.