10.Понятие численного интегрирования. Нахождение интеграла методом прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона.

. Геометрический смысл: если ф-я непрерывна на , и мы можем найти её первообразную F, то используется формула Ньютона-Лейбница =F(b)-F(a). Но дело в том, что:

1. F можно определить только для узкого круга ф-ций

2. Затраты на получение F(x) мб очень велики

3. Ф-я f(x) мб задана таблично

Поэтому используется численное интегрирование.

Пусть f(x) – вещественная ф-я, определенная на , разобьем её на интервалы , =a, =b

На каждом маленьком инт выберем , , и составим сумму: . , если предел существует.

Сумма S без предела – пример численного интегрирования, поскольку сумма отличается от истинного значения интеграла, можем оценить

, и - верхняя и нижняя суммы Дарбу, , .

,

Формул числ.интегрирования много, они отличаются друг от друга:

1. Выбором точек и

2. Скоростью сходимости

3. Оценкой погрешности

В общем случае точки - узлы, а разность между - весы, весы не зависят от f(x). Тогда можно составить: )

S=Q+R, R – погрешность вычисления интеграла, квадратурная формула. Считается, что она задана, если известно, как выбираются узлы в весах, и как считается погрешность R.

Метод прямоугольников.

Отрезок разбиваем на отрезки с шагом h, получаем набор , f(x) принадлежит с² (дважды дифференцируема)

Каждый разбивается пополам и берем точку , строим в этой точке прямую и находим точку её пересечения с f(x), проводим прямую FG, заменяем площадь ABCD на площадь AFGD. Мы можем записать:

,

От маленького отрезка можно перейти к , +

R= ,

Чем меньше шаг, тем выше точность.

Метод трапеций.

, =h>0, f(x) принадлежит с² (дважды дифференцируема)

На каждом отрезке строим хорду BC и площадь крив.тр ABCD заменяем на площадь прямоуг.тр ABCD.

R=

R= ,

Метод Симпсона.

, =h>0, f(x) принадлежит с⁴

Строим , к-ая в т. В,С,D совподает со знач f(x). Криволинейная трапеция со знач f(x) заменяем на криволинейную трапецию с , вычисляем площадь новой криволинейной трапеции.

Для тог, чтобы посчитать a,b,c вычислим:

f( )=

Значения должны совпадать с .

Составим сумму:

f( + = /

Отсюда можем записать f( +

R= ,

На практике при выборе h для достаточно большого [a;b] необходим о выбрать максимальное знач шага таким образом,чтобы мы смогли вычислить площадь с заданной точностью.

Метод прямоугольника:

Метод трапеции:

Метод Сипсона:

В зав-ти от считаем h. Это знач h выбирается исходя из нахудшего поведения f(x) на

11.Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения. Задача Коши. Краевая задача. Решение ОДУ методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера, методом Рунге – Кутта, методами прогноза и коррекции. Решение ОДУ большого порядка. Решение систем ОДУ. Методы решения краевых задач.

Ур-ния, содержащие неизвестную ф-цию под знаком производной, называются дифференциальными уравнениями. Если ур-ние содержит одну независимую переменную и производную по ней, то оно называется обыкновенным, т.е. ОДУ. Решить ОДУ – это значит найти некоторую ф-цию, которая удовлетворяла бы как самому ур-нию, так, возможно, дополнительным условиям.

В зависимости от дополнительных условий различают задачу Коши и краевую задачу.

Для решения задачи Коши существует набор хорошо апробированных методов, а решение каждой отдельной краевой задачи может потребовать специфических подходов. Поэтому в классической вычислительной математике рассматривают вычисления задачи Коши, которую в простейшем случае можно рассмотреть следующим образом:

Задано ОДУ первого порядка: и начальное условие: y(x₀)=y₀. Требуется найти ф-цию, удовлетворяющую как уравнению, так и начальному условию.

Решение: 1).x₁=x₀+h; 2)tgα=f(x₀,y₀); 3)y=y₀=tgα(x-x₀); 4)x=x_1, y=y₁ ; 5)x₁y₁

Численные методы для решения этой задачи могут быть разбиты на две группы: одношаговые и многошаговые.

Одношаговый метод.

В основе всех одношаговых методов лежит разложение ф-ций в ряд Тейлора:

, в котором сохраняются члены до установленного порядка. Если сохраняется член вида , то говорят, что метод имеет порядок n, а погрешность метода пропорциональна hⁿ⁺¹. Для нахождения следующей точки y(x^k+1) требуется информация только об одной предыдущей точке y(x^k) – способность самостартования.

П ростейшим представителем одношаговых методов является метод Эйлера.

y(x+h)=y(x)+hy’(x)+O(h²)

В результате имеем общую формулу метода Эйлера: y(x₀)=y₀, k=0,1,2,…

Несомненное преимущество метода Эйлера – простота реализации. Существенный недостаток – крайне низка точность, которую, однако, можно заранее оценить.(с каждым шагом глобальная погрешность увеличивается)

Как правило, для повышения точности осуществляют решение с шагом h, с шагом h/2 и т.д. В этом случае процедуру называют самоконтролирующей или с автоматическим выбором шага.

Все остальные одношаговые методы базируются на идее Эйлера, но для значительного повышения точности используются дополнительные точки.

Модифицированный метод Эйлера:

1 )x₁=x₀+h; 2)tgα₀=f(x₀,y₀)

3)tg α₁=f(x₁,y₁)

4) tg α_ср= (tg α_0- tg α₁)/2

5)y=y₀+ tg α_ср(x-x₀)

6)x=x₁ след. y₁^ср; 7)x₁,y₁^ср

Точка по модиф. мет. Эйлера гораздо ближе к искомой, чем точка по обычному мет. Эйлера.

Классическим считается метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

y_n+1=y_n+1/6(k₀+2k₁+2k₂+k₃)

k₀=hf(x_n;y_n)

k₁=hf(x_n+1/2h;y_n+1/2k₀)

k₂=hf(x_n+1/2h;y_n+1/2k₁)

k₃=hf(x_n+1/2h;y_n+k₂)

δ= |y_n(h)-y_n(h/2)|/15

Ошибка пропорциональна O(h⁵).

Этот метод сочетает простоту реализации с достаточной