27. Үзіліссіздіктің маңайлар бойынша анықтамасы. Біржақты үзіліссіздіктер
1-теорема.
Егер
және
нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл
нүктеде
функциялары да үзіліссіз.
Дәлелдеуі. Дәлелдеуі үзіліссіз функция анықтамасы мен III-тараудың 4-параграфының 1-теоремасынан шығады.
2-теорема.
Егер
функциясы
нүктесінде үзіліссіз болса, онда
функциясы шенелген болатын а
нүктесінің
маңайы табылады.
Дәлелдеуі.
функциясы
а
нүктесінде үзіліссіз болғандықтан,
,
яғни енді
санын тиянақтап алып, оған сәйкес
болғанда
орындалатын
санының табылатынын көреміз. Демек,
функциясы
маңайында
шенелген.
3-теорема.
Егер
функциясы
нүктесінде үзіліссіз және
болса, онда а
нүктесінің
маңайы табылып, бұл маңайда функция өз
таңбасын сақтайды.
Дәлелдеуі.
Анықтылық
үшін
болсын. Функцияның а
нүктесінде үзіліссіздік анықтамасы
бойынша
саны үшін
болғанда
,
яғни
4-теорема
(күрделі функция үзіліссіздігі). Егер
функциясы а
нүктесінде үзіліссіз, ал
функциясы
нүктесінде үзіліссіз болса, онда
күрделі функциясы а
нүктесінде
үзіліссіз.
Дәлелдеуі.
функциясы
нүктесінде үзіліссіз болғандықтан,
,
ал
функциясы а
нүктесінде үзіліссіз болғандықтан ῃ>0
саны үшін
.
Сонда
десек,
болғанда
,
яғни күрделі
функциясы а
нүктесінде үзіліссіз. Теорема дәлелденді.
Ескерту.
Айталық
а
Е
жиынының шектік нүктесі болсын. Сонда
күрделі функцияның а
нүктесінде үзіліссіздігінен
теңдігі шығады, мұны
деп жазуға болады, өйткені
функциясы
а
нүктесінде үзіліссіз, демек
Сонымен, шекке көшу операциясы мен
үзіліссіздік функция амалы операциясы
орны ауыспалы.
28. Кесек үзіліссіздік. Үзілістілік, айырым (секіру). Жойылатын үзілістіліктер.
Теорема,2.2.5.Егер f және g функциялары S жиынында үзіліссіз болса онда осы жиында f+g,f-g,f*g функциялары да үзіліссіз болады.Егер g функциясы f(x) 0 нүктесінде үзіліссіз болса онда f/g функцияларыда осы нүктеде үзіліссізболады.
Жоиылатын
үзілістік,f функциясы х нүктесін қандаида
бір аластатылған аимағында анықталсын
және х нүктесінде үзілісті болсын .Егер
бар
болса онда f функциясы х нүктесінде
жоиылатын үзілістікке ие.
Құрама үзіліссіз функциялар
f функциясы [a,b)аралығында құрама үзіліссіз деп аталады.Егер:
(a)f(x)
x
[a,b)
(b)f(x)
x
[a,b)
(c)f(x)=f(x+)=f(x-)теңдігі арқылы нүктелер жиыны үшін ғана орындалады
Анықтама ,Егер f(a-) f(a) f(b-)f(b),болса онда f секіруге ие болады
Жойылатын
үзіліс .Егер
,бар
болып және х нүктесінде f функциясы не
анықталмағанне болмаса f(x)
болса
онда х нүктесі f функциясының жойылатын
үзіліс нүктесі деп аталады.Мысалы,х=0нүктесі
f(x)=
функциясыныңжойылатын
үзіліс нүктесі болады.
Анықтама,егер f функциясы бүкіл[a,b]кесіндісінде анықталған болып және кесіндінің саны шектеулі нүктелерден басқа барлық ішкі нүктелерінде үзіліссіз болса,мұныменқоса а нүктесінде оң жақты үзіліссіз ,ал б нүктесінде сол жақты үзіліссіз болса онда f функциясы [a,b]кесіндісінде бөлік-бөлік үзіліссіз деп аталады
Мысалы,f(x)=sinx функциясы бүкіл сандық осьте бөлік-бөлік үзіліссіз функция болады.