Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Shpor_Matan.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
178.95 Кб
Скачать

18. Ашық жабу. Гейне-Борель теоремасы.

H={h тиісті R};Sтиісті R

S тиісті бірігу ,онда h титисті H

H S тің жабуы

S=[2,3]

H={(1,2),(2,2,5),(2,5,3)}

S тиісті h, Uh2Uh3U…Uh4

H={h1,h2,hn} Sтің жабуы

Ашық жабу H={h R/h ашық жиын }

Егер H Sтің жабуы болса,онда H ашық жабу

Теорема. Егер Hтұйық шенелген нақты сандардың Sжиынының ашық жабуы болса,ондаS арқылы мөлшерлі(Sарқылы)H ашық жабушыға ие болады.

Гейне анықтамасы

а нүктесі қандай болмасын (c,d) маңайында анықталған f функциясын қарастырайық.

Анықтама: Егер а саны жинақталатын кез келген { } тізбегі үшін f функциясы мәндерінің сәйкес { f { }} тізбегі А санына жинақталатын болса, онда А санын f функциясының х-тің а-ға ұмтылғандағы шегі деп аталады A=lim┬(n→∞)⁡f(x).Символдар арқылы жазатын болсақ (A=lim┬(n→∞)⁡〖f(x)〗⟺∀{ }, ≠a|x_n→a⇒f( )→A, nϵN)

Анықтама: ( Гейне бойынша) Егер – ге жинақталатын -ден өзгеше Х аргументінің мәндерінің бірінші тізбегі сәйкесінше функция мәндерінің екінші тізбегі а санына жинақталса, онда а саны f(x) функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады. lim┬(х→ )⁡〖f(x)=a〗

19) Больцано-Вейерштерн теоромасы:

Әрбір шенелген ақырсыз нақты сандар жиыны ең болмағанда бір шектік нүктеге ие. Әрбір шенелген шектік нүктеге ие емес жиын арқылы. Вейерштрастың бiрiншi теоремасы

Егер f(x) [a, b]-да анықталған және үзіліссіз болса, онда ол шектеледі. Яғни, тұрақты және шектеулі m және M табылып, a m f(x) M болады.

Д/у: Кері жорып, f [a;b] шектелмесін. Онда[a;b] n N болатындай хn нүктесі табылады |f(хn)| n (1)болатындай. Енді осы хn тізбектен бөліп алуға болады және оның шегі =

және a b болады. f үзіліссіз болғандықтан = , ал бұл мүкін емес, себебі (1) теңсіздік бойынша ,Яғни кері жорығанымыз дұрыс емес. Теорема дәлелденді. Вейерштрастың екiншi теоремасы

Егер f(x) [a, b]-да анықталған және үзіліссіз болса, онда ол бұл аралықта өзінің дәл жоғарғы және дәл төменгі шекарасына жетеді.

Дәлелдеу. f(x) [a, b] –да үзіліссіз болғандықтан, Вейерштрастың 1-теоремасы бойынша ол шенелген, яғни сәйкесінше f(x)-тің [a, b]-да дәл жоғарғы M және дәл төменгі m шекаралары болады. M-нің бар болатынын көрсетейік. x [a, b], f(x1) = M.

Кері жориық.

[a, b]-да M-ге тең f(x)-тің ешбір мәні табылмасын: x [a, b], f(x) M. Онда кез келген x [a, b] үшін f(x) M орынды. [a, b]-да кез келген F(x) = барлық аралықта оң. F(x) рационал болып табылады. Бұл жағдайда f(x) шенелген, яғни x [a, b] үшін µ>0 және F(x) µ , бұдан f(x) M – 1/ µ . Сонымен M – 1/ µ саны M-нен кіші және [a, b]-да f(x)-тің жоғарғы шекарасы болып табылады. Бірақ бұл M саны дәл жоғарғы нүкте екендігіне қайшы бұл қайшылықтан f(x1) = M болатындай x1 [a, b] бар болатындығы дәлелденеді. Ұқсасынша f(x) [a,b]-да өзінің дәл төменгі шекарасына жететіндігі дәлелденеді. Үзіліссіз f(x)-тің (a, b)-дағы дәл жоғарғы және дәл төменгі шекаралардың айырмасы ω = M – m f(x)-тің осы аралықтағы тербелісі деп аталады.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]