10.Жиынның инфимумы қасиеттері туралы теорема.

Жиынның инфимумы

R нақты сандар жиыны берілсін

X R жиынының төменгі шекаралар жиынының ең үлкен элементі Х жиынының дәл төменгі шекарасы деп аталады да, infX немесе inf{x} арқылы белгіленеді және инфимумХ деп окылады (лат: infimum – ең төменгі).

Сонымен, саны X жиынының супремумы болуы үшін келесі екі шарт орындалуы керек:

1. саны X жиынының төменгі шекарасы,яғни үшін болады

2. саны X жиынының жоғарғы шекараларының ең үлкені, яғни санынан үлкенболатын әрбір саны X жиынының төменгі шекарасы бола алмайды.Басқа сөзбен айтқанда, теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген саны үшін

теңсіздігі орындалатын саны табылады.

Супремумның анықтамасы кванторлар тілінде былай жазылады:

1.

2.

санынан кіші болатын кез келген саны түрінде бейнеленеді, сондықтан, 2 шартты былай жазуға да болады:

Әрине, R жиынының ең кіші элементі бар болса онда ол R–дің инфимумы болады.

11. Нақты сандар жиынының кеңеюі. Анықталмағандықтар.

1. Натурал сандар

Натурал сандар деп мына сандарды атаймыз 0, 1, 2, 3, 4,…

Барлық натурал сандар жиының N символымен белгіленеді. Белгілі бір a санының натурал сан екенің көрсету үшін a ∈ N деп белгілейміз. Мысалы 1 ∈ N, 5 ∈ N, 3 ∈ N.

2. Бүтін сандар

Бүтін сандар деп оң және теріс таңбасымен алынған барлық натурал сандар жиынынан құралған сандар жиының атаймыз.

Яғни бүтін сандар 0, 1, 2, 3, 4,… және -1, -2, -3, -4,… сандар жиындарының бірігуінен құралған. Бүтін сандар жиының P символымен белгілейміз.

Тұжырым.

N жиынына еңетің кез келген сан P жиынына да еңеді. Бұндай жағдайда N жиыны P жиынына еңеді дейді, және N ⊆ P деп жазады.

3. Рационал сандар

Рационал сандар деп a/b (a ∈ P, b ∈ P, b ≠ 0) сандарын атаймыз. Мысалы 1/3 , 10/7. Рационал сандар жиының R деп белгілейміз.

Кез келген бүтін c саны рационал жиынына еңеді да, яғни рационал саны да болып табылады. Өйткені  , соңдықтан P ⊆ R.

4. Иррационал сандар

Иррационал сан деп π = 3,141592… немесе   = 1,4… сандары тәрізді бөлшек бөлігі шексіз, периодты емес цифрлардан құралған сандарды атаймыз.

Иррационал сандар жиының Q деп белгілейміз.

5. Нақты сандар

Нақты сандар жиыны деп барлық- натурал, бүтін, рационал және иррационал сандардан құралған сандар жиының атаймыз. Және бұл жиынды Z әрпімен белгілейміз.Негізгі анықталмағандықтарға мыналар жатады:

, ,

12. Пиано постулаттары және математикалық индукция принципі.

натурал сандар жиыны.

(А)

(В) Әрбір натурал санымен байланысқан төркіні болатын жалғыз ғана сан табылады.

(С) 1-дің төркіні жоқ.

N –нің төркіні жоқ.

(D) Егер

Егер төркіндері әртүрлі болса, онда олардың сандары да әртүрлі болады.

(Е) Төркіні жоқ санды немесе бүкіл төркінді қамтитын натурал сандар.

Натурал сандар жиынының анықтамасынан салдар ретінде математикалық дәлелдеулердің маңызды әдістерінің бірі – математикалық индукция әдісі шығады.

Әрбір натурал үшін тұжырымы айтылған болсын. Әрине,кейбір –дер үшін орындалып, кейбір -дер үшін орындалмауы да мүмкін. Бірақ, егер:

1. орындалса,

2. Әрбір натурал үшін орындалғанда де орындалса, онда тұжырымы кез келген натурал үшін орындалады.

Расында да, орындалатын сандарынан құрылған жиынды А әрпімен белгілесек, онда және шарттары орындалады. Сондықтан, натурал сандардың анықтамасы бойынша А натурал сандар жиынының дәл өзі болады, яғни тұжырымы кез-келген үшін орындалады.

Барлық натурал сандар туралы теореманы дәлелдеген сайын, яғни тұжырымы әрбір натурал саны үшін орындалатынын дәлелдеу үшін, әрқашан да келесі, математикалық индукция әдісі деп аталатын әдісті қолдану керек : 1) мен 2) шарттарының орындалатынын тексеру керек.

(а) бойынша, және b бойынша, M n болғанда. M=N.