38. Ролль теоремасы.

Теорема. функциясы сегментінде үзіліссіз болып, интервалында дифференциалдансын. Егер сегменттің шеткі нүктелеріндегі функцияның мәндері өзара тең болса, яғни теңдігі орындалса, онда шартын қанағаттандыратын кемінде бір саны табылады.

Дәлелдеуі. Егер тұрақты болса, яғни болса, онда болады, демек, бізге қажетті ретінде интервалының әрбір нүктесін алуға болады.

Енді тұрақты болмасын. Онда шартын қанағаттандыратын саны табылады. Анықтық үшін болсын. үзіліссіз болғандықтан, Вейерштрасс теоремасы бойынша барлық үшін теңсіздігі орындалатын саны табылады. Расында, саны сегментінің ішкі нүктесі болады, яғни интервалында жатады, өйткені үшін , демек, саны мен -дан өзге.

Енді болса, онда 1) , яғни -ның -маңайында функциясы анықталған, 2) әрбір үшін демек, анықтама бойынша максимум нүктесі, ал бар болғандықтан, Ферма теоремасы бойынша мақсатымыз болатын теңдігіне келеміз. Теорема дәлелденді.

Ролль теоремасы

[а,b] аралығында f(х) анықталған сондай-ақ:

1. [а,b] аралығында f(х) – үзіліссіз;

2. [а,b] аралығында f(х)дифференциалдасын;

3. f(a)=f(b)

Онда f ’ (c) =0 болатындай с € (a,b) табылады.

Дәлелдеу: f(x) функциясы [а,b] аралығында үзіліссіз болсын. Вейер – Штрасстың теоремасы бойынша бұл кесінді де максималды, минималды (M,m) арқылы болады.(Вейер-Штрасс теоремасы: Егер f(х) функциясы [а,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болса, онда бұл аралықта өзінің дәл төменгі шекарасына жетеді. Ең үлкен және ең кіші мәндері бар болады).

2 жағдай болуы мүмкін :

1. M=m

2. m<M

1-жағдай бойынша f(х) = const; m=M, онда f ‘ (х)=0

2-жағдай бойынша f(a)= f(b) болсын. m,Mмәндерінің біреуі [а,b] ұштарында емес, яғни f(с)= m және f(с)=M. Бұл жағдайда f ‘(с)=1 , f ‘(с)=0 табылады.

39. Туындының аралық мәні туралы теорема.

Теорема. 1) функциясы аралығыныда дифференциалданса;

2) болсын;

3) саны мен -ның арасында жатсын

Сонда, болатындай саны табылады.

Дәлелдеуі. болсын – үзіліссіз, дифференциалданады.

-экстримум нүктесі болса, онда

Локальды экстремум нүктесі

40-41-43. Аралық мән туралы жалпыланған теорема.

Tеорема: Егер f функциясы интервалында үзіліссіз болып болсын арасында жатсын сонда )= болатындай с

Дәлелдеуі: болсын S={ } S шенелген с=supS

S кері жоримыз

c-да f үзіліссіз с- <x<c үшін болатындай олай болса с- S жиынының жоғарғы жағы с-ның таңдауына қайшы.

с<b c жоғарғы жақ емес с=supS

Үзіліссіз функцияның аралық мәні туралы

1-теорема (Больцано-Коши). Егер кесіндіде үзіліссіз функцияның кесінді ұштарындағы мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда осы кесіндіден функция мәні нөлге айналатын нүкте табылады.

Бұл теореманы логикалық символика арқылы былай жазар едік:

Дәлелдеу. кесіндісін екіге бөлейік. Егер бөлген нүктеде функция нөлге тең болмаса, онда алынған екі кесіндінің біреуінің ұштарында функция әртүрлі таңбалы мән қабылдайды. Оны тағы екіге бөліп, осы процесті жалғастыра береміз. Сонда белгілі бір қадамнан соң болатын нүктесіне түссек теорема дәлелденген болады. Немесе нөлге ұмтылатын енгізілген кесінділер тізбегін аламыз. Бұл жағдайда Коши-Кантор енгізілген принципі бойынша осы алынған кесінділердің бәріне ортақ жалғыз нүктесі табылады. Құрғанымыз бойынша кесіндісінің ұштарынан түзілген болатын және болатын екі тізбегін алдық әрі бұл тізбектер шектері Тізбек шегінің қасиеті мен үзіліссіздік анықтамасынан және Сонымен Теорема дәлелденді.

2-теорема (Коши). Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз және болса, онда және сандарының арасындағы кез келген С саны үшін болатын ең болмағанда бір нүктесі табылады.

Бұны да логикалық символика арқылы былай жазуға болады:

Дәлелдеуі. болғандықтан Теорема дәлелденді.