37. Функцияның экстремум мәндері. Олардың қажетті шарты.

Функцияның экстремум нүктелері. Экстремумның жеткілікті шарттары. Функцияның кесіндідегі экстремум мәндері.

Анықтама. Егер (x0,y0) нүктесі үшін V(x,y)ЄU(x0,y0), f(x,y)≤f(x0,y0) (f(x,y)≥f(x0,y0)) теңсіздігі орындалатындай U(x0,y0) маңайы табылса, онда z= f(x,y) функциясының (x0,y0) нүктесінде локальдік(төңіректік) максимумы(минимумы) бар дейді. (x0,y0) нүктесін локальдік максимум(миинмум) нүктесі, ал функцияның осы нүктеге сәйкес мәнін функцияның максимум(минимум) мәні деп атайды. Локальдік максимум мен минимум мәндері – локальдік экстремум деп аталады. Экстремум анықтамасынан (x0,y0) нүктесінің жеткілікті кішкене маңайында Δf= f(x,y)- f(x0,y0) өсімшесінің таңбасы өзгермейтінін көреміз:

Локальдік максимум үшін: Δf≤0;

Локальдік минимум үшін: Δf≥0.

Экстремумның жеткілікті шартын жалпы жағдайда былай тұжырымдауға болады: P₀(x₀,y₀) нүктесі z=f(x,y) функциясының стационар нүктесі, ал функция P₀ нүктесінің қандай да бір маңайында екі рет дифференциалданып, P₀ нүктесіндегі барлық екінші ретті дербес туындылары үзіліссіз болсын. Онда:

1) егер екінші ретті d²z(P₀,Δx,Δy) дифференциал Δx,Δy өсімшелерінің функциясы ретінде бір мезгілде нөлге тең емес және Δx,Δy-тің барлық мәндерінде тұрақты таңба сақтаса, онда z=f(x,y) функциясының P₀ нүктесінде экстремумы бар, атап айтқанда, d²z(P₀,Δx,Δy)<0 болса, P₀- максимум нүктесі, d²z(P₀,Δx,Δy)>0 болса, P₀-минимум нүктесі;

2) егер d²z(P₀,Δx,Δy) функциясы Δx,Δy шамаларының таңба айнымалы функциясы болса, онда P₀ нүктесінде функцияның экстремумы жоқ;

3) егер d²z(P₀,Δx,Δy)≥0 немесе d²z(P₀,Δx,Δy)≤0 болып, екінші дифференциал нөлге тең болатындай Δx,Δy мәндер жиынтығы бар болса (Δx,Δy – бір мезгілде нөлге тең емес), онда екіден жоғарғы дифференциалдар арқылы қосымша зерттеу қажет.

Мысал. z=2x²+8x+y² функциясын экстремумге зерттеу керек.

Стационар нүктелері:

{z_x’=4x+8=0, <=> {x=-2,

{z_y’=2y=0 {y=0. P₀=(-2,0).

Екінші дифференциал

d²z=z_xx’’dx²+2 z_xy’’dxdy+ z_yy’’dy² =4*dx²+2*dy²>0 болғандықтан, функция P₀=(-2,0) нүктесінде минимум мәнін қабылдайды:

z_min(-2,0)=2*(-2)²+8*(-2)+0=-8.

Функцияның кесіндідегі экстремум мәндері. y=f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болсын. Олай болса, Вейерштрастың екінші теоремасы бойынша f функциясы бұл кесіндіде өзінің ең үлкен M және ең кіші m мәндері міндетті түрде қабылдайды.

Енді M=maxf(x) мәнін табуға тоқталайық. f функциясы өзінің ең үлкен M мәнін [a,b] кесіндісінің не ішкі нүктесінде қабылдайды(онда мәні функцияның жергілікті экстремумының бірімен дәл келеді), не кесіндінің шеткі нүктелерінің бірінде қабылдайды. Бұдан мынадай ереже шығады: f функциясының [a,b] кесіндісіндегі ең үлкен мәнін табу үшін, оның барлық жергілікті максимум нүктелеріндегі мәндерін a мен b нүктелеріндегі мәндерімен салыстырып, олардың ең үлкенін таңдап алу керек.

Осы табылған сан функцияның ең үлкен M=maxf(x) мәні болады. Осылайша

f функциясының жергілікті минимум мәндерін кесіндінің шеткі нүктелеріндегі мәндерімен салыстырып, оның ең кіші m=minf(x) мәндерін табамыз.