29) Үзiлiссiз функцияларға қолданылатын арифметикалық амалдар

Теорема1 f(x)^g(x) x₀ нүктесінде үзіліссіз болсын, онда f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) егер g(x) функциясы да осы нүктеде узілліссіз.

Дәлелдеу: функциялар х₀ нүктесінде узіліссіз болғандықтан олардың осы нүктеде шектері бар және олар f(x₀ ) және g(x₀) тең.

Онда функция шегі туралы теоремадан шығатыны f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) шектері бар және ол мынаған тең:

f(x₀) g(x₀), f(x₀) g(x₀), f(x₀) g(x₀).

Бірақ бұл өлшенгенде функцияның сәйкес мәнінде тең. Ендеше сәйкес формулалар х₀ нуктесінде үзіліссіз.

30)Монотонды функцияның үзіліссіздігі. Керi функция ұғымы

Егер f(x) функ. [a;b] кесіндісінде үзіліссіз және өспелі (кемімелі) болса, онда оның [f(a);f(b)] ([f(b);f(a)]) кесіндісінде үзіліссіз және өспелі (кемімелі) x=φ(t) кері функциясы бар.

Дәлелдеу: f(x) функ-н [a;b] кес-е өспелі деп ұйғарайық. Үзіліссіз функ-ң мәндер жиыны [f(a);f(b)] кесіндісі болады, өйткені Ɏхϵ[a;b] (f(a)≤ f(x)≤f(b)) және Кошидің 2-теоремасы бойынша f(x) функ. [f(a);f(b)] кесіндісіндегі кез-келген мәнін ең болмағанда бір рет қабылдайды. Ал f(x) функ. [a;b] кесіндісінде өспелі болғ. Мәндер жиыны [a;b] болатын [f(a);f(b)] кес-е анықталған x=φ(у) кері функ.бар. Бұл функ. φ(у) кес-н у1<y2 болатын у1, у2 нүкт-і табылады деп ұйғарсақ , онда f(φ(у1))> f(φ(у2)) , яғни у1≥у2 теңсіздігіне қайшы.

Теорема: Егер f(x) функ. [a;b] кесіндісінде монотонды және оның мәндер жиыны кесінді болса, онда f(x) функ. [a;b] кес-е үзіліссіз

Сонда , теор.бой-ша φ(у) функ. [f(a);f(b)] кесіндісінде үзіліссіз. Теорема дәлелденді.

31. Үзіліссіздік және бірқалыпты үзіліссіздік.

F : E→R функциясы E⊂R жиынында бірқалыпты үзіліссіз деп аталады, егер кез келген ε>0 саны бойынша │x’’-x’│<𝛿(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық x’, x’’ ∈ E сандары үшін │f(x’’)-f(x’)│<ε теңсіздігі орындалатын 𝛿(ε) оң саны табылса.Логикалық символикалар арқылы бұл анықтаманы былай жазуға болады: f :E→R функциясы E жиынында бірқалыпты үзіліссіз:

∀ε>0Ǝ𝛿(ε)>0∀x’’∈E∀x’∈E(│x’’-x’│<𝛿(ε)=> │f(x’’)-f(x’)│<ε). Енді осы анықтаманы талқылап көрсек:

1⁰. Егер функция жиында бірқалыпты үзіліссіз болса, онда ол жиынның кез келген нүктесінде үзіліссіз.

2⁰. Үзіліссіздік-функцияның бір ғана нүктеде анықталатын төңіректік (локальдік) ұғым болса, ал бірқалыпты үзіліссіздік функцияны бүкіл жиында анықталатын шартараптық (глобальдік) ұғым.

3⁰. Үзіліссіздіктен жалпы жағдайда бірқалыпты үзіліссіздік шықпайды.

Функциялардың шектері.Анықтамасы және қасиеттеріФункцияның дербес шегі. Анықтама: f функциясы Х жиынында анықталып, а нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын, α – нақты сан, +∞ немесе -∞-тің бірі болсын, яғни α∈[-∞,+∞].

x_n∈X, x_n≠a, x_n→(n→∞) шарттарын қанағаттандыратын белгілі бір {x_n}_n≥1 тізбегі мен оған сәйкес {f(x_n)} тізбегі үшін теңдігі орындалса, онда α-ны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі деп атайды.