1. Өрістегі арифметикалық амалдардың қасиеті. Ерекше элементтер, қарама-қарсы элементтер, кері элементтер.

жиынының кез келген элементі үшін теңдігін қанағаттандыратын жиынының элементін қарама-қарсы элемент д.а.

жиынының кез келген элементі үшін теңдігін қанағаттандыратын жиынының элементін кері элемент д.а.

2. Реттік қатынас. Көбейту және қосу амалдарымен байланысы. Реттелген өрістер.

Қосу және көбейту байланысы:

Қосу операциясы арқылы көбейту операциясы дистрибутивті, яғни жиынының кез келген , элементтері үшін

теңдігі орындалады.

Реттік қатынас:

1. Кез-келген

2. Егер , онда транзитивтік заң бойынша .

3. Егер , онда кез келген с үшін , және болса, онда .

Теңдеулерін қанағаттандыратын өрісті реттелген өріс д.а.

4. Санның абсолюттік шамасы. Үшбұрыш теңсіздігі. Оның салдары.

Кез келген саны үшін

Функциясы арқылы анықталған санды санының модулі н/е абсолют шамасы д.а.

Абсолют шаманың қасиеттері:

1. Егер болса, онда .

2. Егер болса, онда .

3. 

4. (егер болса).

5. (егер болса).

6. Кез келген саны үшін және теңсіздіктері тең мағыналы.

7. 

8. 

Үшбұрыш теңсіздігі:

Кез келген сандары үшін .

1. Егер және болса, онда , сонымен .

2. Егер және болса, онда , сонымен .

3. Егер және болса, онда , сонымен

4. Егер және болса, онда сонымен .

Салдары:

Егер , онда ,

Дәлелдеуі: -ның орнына қойсақ, , онда

орнын алмастырсақ, Демек,

Демек,

5. Жиынның жоғарғы жағы. Жоғарыдан шенелген жиын. Супремум.

Кез келген болса, онда берілген жиынының жоғарғы жағы (шекарасы).

Егер жиынының барлық сандары үшін шартын қанағаттандыратын нақты саны табылса, онда жиынын жоғарыдан шектелген н/е жоғарыдан шенелген жиын д.а. саны жиынының жоғарғы жағы (мажоранты) д.а.

жиынының жоғарғы жағының ең кішісі бар болса, жиынының супремумы деп атайды да, н/е арқылы жазады. Сөйтіп, супремум н/е жиынының барлық элементтерінің супремумы деп оқиды.

6. Жиын супремумының қасиеттері туралы теорема.

1-теорема. Егер кез келген саны және барлық болса, онда

Дәлелдеуі. Теорема шарты бойынша саны жиынының жоғарғы жағы. Сондықтан

2-теорема. Неғұрлым жиын кең болса, соғұрлым оның супремумы үлкен, яғни , онда

Дәлелдеуі. және болғандықтан . Демек, 1-теорема бойынша

3-теорема. Егер сандар жиынының кез келген элементі сандар жиыныныңкез келген элементінен аспаса, онда

Дәлелдеуі. 1-теорема бойынша және бұл теңсіздік кез келген үшін орындалатын болғандықтан

4-теорема. нақты сандар жиыны берілсін. , яғни сандық жиындарда н/е астынан минус таңбасын шығарғанда, олар қарама-қарсы символға көшеді.

Дәлелдеуі. болсын, онда Енді осы теңсіздіктерді -1-ге көбейтіп жазайық:

, яғни әрі Сонда супремумның анықтамасы бойынша

Енді егер болса, онда Сондықтан яғни демек,