Билет №11.
Задача №1. Центр описанной около треугольника окружности симметричен центру вписанной окружности относительно одной из сторон треугольника. Найти углы этого треугольника.
Д
ано:
,
окр.(О;R) – описанная,
окр.(J;r) –
вписанная.
Решение.
Т.к. цетры вписанной и описанной
окружностей симметричны относительно
стороны треугольника, то центр описанной
окружности лежит вне
- тупоугольный
Заметим: J – центр вписанной
окружности и О – центр описанной
окружности лежат на диаметре. Т.к. диаметр
перпендикулярен хорде, то
- медиана
и
,
значит,
- равнобедренный.
Дополнительные построения:
- биссектрисы
и
.
Дополнительное построение:
.
=
(
,
т.к. J и O –
симметричны относительно М,
-
общая). Значит
.
AK – диаметр, т.к. проходит
через центр окружности
,
Ответ:
.
решена
З
адача
№2.
В треугольнике АВС на стороне АС взята
точка М такая, что АМ=
АС,
а на стороне ВС – точка К такая, что
ВК=
.
В каком отношении отрезок ВМ делит
отрезок АК?
Дано:
,
,
АМ=
АС,
,
ВК=
.
Решение.
1) Проведем через вершину А прямую,
параллельную BC.
Пусть
2)
(т.к.
)
3)
(по двум углам), тогда
Ответ:
Билет №12.
Задача №1. Длины диагоналей ромба пропорциональны числам 3 и 4, его сторона равна 20 см. Найти: а) длины диагоналей; б) радиус окружности, вписанной в ромб.
Дано: ABCD – ромб,
,
Решение.
А) ABCD – ромб, значит
и
,
т.е.
см
см
см,
тогда
см
Б) ABCD – описанный
(см2)
(см)
Ответ:
;
см
решена
З
адача
№2.
Найти площадь равнобедренной трапеции,
у которой основания равны 8 и 18 см, а
боковая сторона равна средней линии.
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция,
см,
см
,
MN – средняя линия,
Решение.
Т.к. MN – средняя линия, то
Т.к. ABCD – равнобедренная,
то
(см)
:
по теореме Пифагора:
(см)
(см2)
Ответ:
(см2)
Билет №13.(решен)
Задача №1. В равнобедренном треугольнике АВС АС=b, AB=BC=a, AN и СМ – биссектрисы углов А и С. Найти длину отрезка MN.
Дано:
,
,
,
AN и MC –
биссектрисы
и
Решение.
1) Пусть
,
тогда
CM – биссектриса
,
откуда
2) С другой стороны
(
- общий,
)
Ответ:
Задача №2. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки 5 см и 12 см точкой касания этого треугольника со вписанной в него окружностью. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса его меньшего угла?
Дано: - прямоугольный, BK – биссектриса, окр.(О;r),
E, K, M
– точки касания,
см,
см
Решение.
Пусть
,
тогда
,
,
По теореме Пифагора:
- не удовлетворяет условию
Итак,
см,
см.
По свойству биссектрисы угла:
Ответ:
Билет №14.
З
адача
№1.
Постройте отрезок длины
,
где a
>b,
если a
и b
– длины двух отрезков.
Дано: отрезки a и b
П
остроение.
1)
2)
3)
x – искомый отрезок
З
адача
№2.
Постройте треугольник по трём точкам
касания его сторон с вписанной в
треугольник окружностью.
Дано: точки A, B, C.
Построить:
,
где A, B, C
–
точки касания сторон с вписанной окружностью.
Построение:
1) Соединим точки A, B, C
2) OA1, OB1, OC1 – серединные
перпендикуляры для
3) Построим окружность с центром
в точке О и радиусом OA
4) Строим EF, DE, DF, перпендикулярные
радиусам окружности
5) - искомый