Билет №7.(решен)

Задача №1. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции и точку пересечения её диагоналей, делит пополам основания трапеции.

Дано: ABCD – трапеция,

Доказательство.

Проведем прямую KN (N – середина AD), докажем, что .

и по двум углам ( - общий, , )

, т.к. M – середина BC.

Проведем прямую ON

, как накрест лежащие углы)

,ч.т.д.

III способ.

Из теоремы Чевы для и точки О:

, тогда

П о теореме Фалеса:

и по двум углам ( - общий, , )

, ч.т.д.

Задача №2. Найдите площадь трапеции с боковыми сторонами 13 и 20 и основаниями 6 и 27.

Д ано: ABCD – трапеция,

BC=6, AB=13, CD=20, AD=27

Решение. I способ.

Достроим трапецию до параллелограмма ABFD, тогда и (по свойству параллелограмма)

По формуле Герона:

Но с другой стороны

Ответ: кв.ед.

I I способ.

Заметим, что в трапецию можно вписать окружность высота трапеции равна двум радиусам.

- прямоугольный. По теореме Пифагора:

Ответ: кв.ед.

Билет №8.

Задача №1. В круговой сектор с углом 60⁰ помещён круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площади сектора и площади круга.

Дано: AOB – круговой сектор, ,

Окр.(О₁;r)

Решение.

Тогда

- прямоугольный, , тогда , а .

По теореме о квадрате касательной

Тогда

Ответ:

З адача №2. Найдите площадь фигуры и длину границ фигуры, являющейся общей частью двух кругов радиуса R каждый, если расстояние между их центрами также равно R.

Дано: , ,

Решение.

- равнобедренный

,

, тогда

Длина границы

Ответ: ,

Билет №9.

Задача №1. Доказать, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению её оснований.

Дано: ABCD – вписанная трапеция; а, b – основания

Доказательство.

1) Дополнительное построение:

В

2) ABCD – описанная

3)

4) - в силу , ч.т.д.

З адача №2. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 5 см. Одна из его сторон равна 6 см. Найти: а) площадь прямоугольника; б) угол между диагоналями прямоугольника.

Дано: ABCD – прямоугольник, OE=5 см, AB=6 см,

Окр.(O;R) - описанная

Решение.

А) Т.к. Окр.(O;R) – описанная, то О- точка пересечения диагоналей прямоугольника, ОD=R

(см)

(см²)

Б) : по теореме косинусов

Ответ: (см²), .

Билет №10.

З адача №1. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1:2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

Дано: ABCD – ромб, BE – высота,

Решение.

1)

2)

3)

4)

Ответ:

решена

Задача №2. Составить уравнение окружности с центром на прямой у=4 и касающейся оси абсцисс в точке (3; 0). Найти координаты точки пересечения окружности с прямой у=х.

Решение.

А) Уравнение окружности имеет вид , где - центр окружности, r – ее радиус.

Т.к. О₀ лежит на прямой и касается оси абсцисс в точке , то

- уравнение окружности

Б) - биссектриса I и III координатных углов

Т.к. , то

Ответ: .